Automorphe Formen (Springer-Lehrbuch Masterclass)

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Automorphe Formen

Anton Deitmar

Automorphe Formen

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Prof. Dr. Anton Deitmar Universität Tübingen Institut für Mathematik Auf der Morgenstelle 10 72076 Tübingen Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-642-12389-4 e-ISBN 978-3-642-12390-0 DOI 10.1007/978-3-642-12390-0 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 11F70, 11F12, 11F41, 22E50, 22E55 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Einführung

Dieses Buch ist eine Einführung in die Theorie der automorphen Formen. Beginnend mit klassischen Modulformen, führt es bis zur Darstellungstheorie der adelischen GL(2) und den zugehörigen L-Funktionen. Die klassischen Modulformen sind hierbei ein roter Faden, der an allen Stellen als Beispiel für die entwickelte Theorie dient. Wir führen sie als holomorphe Funktionen auf der oberen Halbebene mit einem Invarianzverhalten unter ganzzahligen Transformationen ein. Indem wir Funktionen auf der Halbebene als Funktionen der Gruppe SL2 .R/ auffassen, ermöglichen wir den Einsatz darstellungstheoretischer Methoden in der Theorie der automorphen Formen. Schließlich werden die Grundringe auf Adele-Ringe erweitert, was dazu führt, dass zahlentheoretische Fragestellungen sozusagen in die Struktur eingebaut werden und mit analytischen Methoden behandelt werden können. Die Vorkenntnisse, die der Leser mitbringen sollte, umfassen etwas Algebra und komplexe Analysis im Umfang einer jeweils einsemestrigen Einführungsvorlesung. Es sollte zum Beispiel bekannt sein, was eine Gruppenoperation ist oder ein Ring, ferner sollte der Leser im Stande sein, den Residuensatz anzuwenden. Darüber hinaus sind Kenntnisse der Lebesgueschen Maß- und Integrationstheorie von Vorteil. Man braucht aus dieser Theorie einerseits die Grundbegriffe wie -Algebren und Maße und andererseits einige Sätze wie die Konvergenzsätze der majorisierten und monotonen Konvergenz oder die Vollständigkeit der Lp -Räume. Diese Dinge sind in einem kleinen Appendix zur Maß- und Integrationstheorie zusammengefasst. Dieses Buch setzt den Schwerpunkt auf das Verhältnis von automorphen Formen zu LFunktionen. Um die Zugänglichkeit zu erhöhen, wird versucht, die zentralen Resultate dieses Gebiets mit minimalem Theorieaufwand zu erreichen. Notwendigerweise muss dann auf die größtmögliche Allgemeinheit der Darstellung verzichtet werden, für den interessierten Leser werden weiterführende Literaturhinweise gegeben. Im ersten Kapitel wird der klassische Zugang zu Modulformen über doppeltperiodische Funktionen gewählt. Durch Betrachtung der Weierstraßschen }-Funktion gelangt man rasch zu den Eisenstein-Reihen und damit zur Theorie der Modulformen. Diese Theorie wird, für die klassische Modulgruppe, im zweiten Kapitel betrachtet, wo auch die L-Funktionen eingeführt werden. Nach Dieudonné hat v

vi

Einführung

die Theorie der automorphen Formen zwei Revolutionen erlebt: die Intervention der Lie-Gruppen und die Intervention der Adele. Die Lie-Gruppen intervenieren im dritten Kapitel, die Adele im Rest des Buches, wobei wir versuchen, die Kontinuität der Darstellung zu bewahren, indem wir immer wieder auf die ersten Beispiele, die klassischen Spitzenformen, zurückkommen. Die Kapitel vier und fünf bereiten den Boden für die Doktorarbeit von John Tate, die im sechsten Kapitel dargestellt wird, allerdings in einer vereinfachten Form, da wir nur über den rationalen Zahlen arbeiten und nicht über einem beliebigen Zahlkörper. Für unsere Zwecke ist das eher förderlich, da wir die zentralen Ideen so besser herausarbeiten können. Im siebenten Kapitel werden automorphe Formen auf der Gruppe der invertierbaren zwei mal zwei Matrizen mit adelischen Einträgen untersucht und im achten Kapitel übertragen wir die Ideen von Tates Doktorarbeit auf den Fall von zwei mal zwei Matrizen und erhalten hierdurch die analytische Fortsetzung der L-Funktionen. Für die klassischen Spitzenformen rechnen wir am Ende nach, dass die neue, allgemeinere Methode in diesem Spezialfall dasselbe Ergebnis liefert wie die Methode aus dem zweiten Kapitel. Ich bedanke mich für das Korrekturlesen dieses Buches und viele nützliche Hinweise bei Ralf Beckmann, Judith Ludwig, Frank Monheim und Martin Raum. Tübingen, Mai 2010

Anton Deitmar

Notation Wir schreiben N D f1; 2; 3; : : : g für die Menge der natürlichen Zahlen und N0 D f0; 1; 2; : : : g für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null, sowie Z; Q; R und C für die Mengen der ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Ist A eine Teilmenge einer Menge X , so bezeichnen wir mit 1A W X ! C die Indikatorfunktion von A, d. h., es ist ( 1 falls x 2 A ; 1A .x/ D 0 falls x … A : Ein Ring ist stets kommutativ mit Eins. Ist R ein Ring, so bezeichnen wir mit R die Gruppe der Einheiten von R, d. h., die multiplikative Gruppe der invertierbaren Elemente von R.

Inhaltsverzeichnis

1

Doppelt-periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Die Weierstraßsche }-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Die Differentialgleichung der }-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Eisenstein-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Bernoulli-Zahlen und Zetawerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

Modulformen für SL2 .Z/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Die Modulgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modulformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Abschätzung der Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Hecke-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Kongruenzuntergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Maaßsche Wellenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 20 31 32 38 50 52 63 74

3

Darstellungen der SL2 .R/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Haar-Maße und Zerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Modulformen als Darstellungsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Die Exponentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 89 93 96 99

4

p-adische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.1 Absolutbeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2 Qp als Vervollständigung von Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4 Haar-Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

vii

viii

Inhaltsverzeichnis

4.5 Direkte und projektive Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5

Adele und Idele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1 Eingeschränkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2 Adele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3 Idele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4 Fourier-Analysis auf A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4.1 Lokale Fourieranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4.2 Globale Fourieranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6

Tate’s Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.1 Poisson Summenformel und Riemanns Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Zeta-Funktionen adelisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.3 Dirichlet L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.4 Galois-Darstellungen und L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7

Automorphe Darstellungen der GL2 .A/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.1 Hauptserien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.2 Reell zu adelisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3 Bochner-Integral, Kompakte Operatoren und Arzela-Ascoli . . . . . . . 168 7.4 Spitzenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.5 Der Tensorprodukt-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.5.1 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.5.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.5.3 Zulässigkeit automorpher Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.6 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8

Automorphe L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.1 Das Gitter M2 .Q/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.2 Lokale Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3 Globale L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.4 Das Beispiel der klassischen Spitzenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Topologie und Integrationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.1 Messbare Funktionen und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.2 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 A.3 Lp -Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Kapitel 1

Doppelt-periodische Funktionen

Wir beginnen mit meromorphen Funktionen der komplexen Ebene, die periodisch in zwei Richtungen sind. Diese lassen sich durch eine Summenkonstruktion gewinnen. Die Abhängigkeit dieser Summenkonstruktion von dem Gitter führt uns dann direkt zum Begriff der Modulformen.

1.1 Definition und erste Eigenschaften Wir erinnern als erstes an den Begriff einer meromorphen Funktion. Sei D eine offene Teilmenge der komplexen Ebene C. Eine meromorphe Funktion f auf D ist eine holomorphe Funktion f W D X P ! C, wobei P  D eine abzählbare Teilmenge ist und die Funktion f in den Punkten von P Pole hat. Hierbei kann die Polstellenmenge P auch leer sein, also ist jede holomorphe Funktion auch meromorph. Da ein Häufungspunkt von Polen stets eine wesentliche Singularität ist, wir wesentliche Singularitäten aber ausgeschlossen haben, folgt, dass P in D keinen Häufungspunkt hat, die Pole können sich also höchstens am Rand häufen. Sei b C D C [ f1g die Riemannsche Zahlenkugel und sei f meromorph auf D mit Polstellenmenge P . Wir erweitern f zu einer Abbildung f W D ! b C, indem wir f .p/ D 1 setzen, falls p 2 P ist. Meromorphe Funktionen werden also auch als überall definierte, b C-wertige Abbildungen aufgefasst. Ist p 2 D ein Punkt und f meromorph auf D, so existiert genau eine ganze Zahl r 2 Z so dass f .z/ D h.z/.z  p/r gilt, wobei h eine Funktion ist, die in z D p holomorph ist und in p nicht verschwindet. Diese Zahl r nennt man die Ordnung von f in p, geschrieben r D ordzDp f .z/ D ordp f : Merke: Die Ordnung von f in p ist positiv, wenn p eine Nullstelle ist und negativ, falls in p ein Pol vorliegt. A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

1

2

1 Doppelt-periodische Funktionen

Definition 1.1.1 Ein Gitter in C ist eine Untergruppe ƒ der additiven Gruppe .C; C/ der Form ƒ D ƒ.a; b/ D Za ˚ Zb D fka C lb W k; l 2 Zg ; wobei a; b 2 C linear unabhängig über R sind. In diesem Fall sagt man, dass das Gitter von a und b erzeugt wird, oder dass a; b eine Z-Basis des Gitters ist. Ein Gitter hat viele Untergitter, zum Beispiel ist ƒ.na; mb/ ein Untergitter von ƒ.a; b/, falls n; m 2 N. Eine Untergruppe †  ƒ ist genau dann ein Untergitter, falls die Quotientengruppe ƒ=† endlich ist (siehe Aufgabe 1.2). Es gilt zum Beispiel: ƒ.a; b/=ƒ.ma; nb/ Š Z=mZ  Z=nZ : Definition 1.1.2 Sei ƒ ein Gitter in C. Eine meromorphe Funktion f auf C heißt doppelt-periodisch zum Gitter ƒ oder ƒ-periodisch, falls f .z C / D f .z/ für jedes z 2 C und jedes  2 ƒ gilt. Ist f doppelt-periodisch zum Gitter ƒ, so auch zu jedem Untergitter. Zur Erklärung dieser Sprechweise verweisen wir auf Aufgabe 1.1. Proposition 1.1.3 Eine holomorphe doppelt-periodische Funktion ist konstant. Beweis: Sei f holomorph und doppelt-periodisch. Dann gibt es ein Gitter ƒ D ƒ.a; b/ mit f .z C / D f .z/ für jedes  2 ƒ. Sei F D F .a; b/ D fta C sb W 0  s; t < 1g : Dann ist F eine beschränkte Teilmenge von C, also ist ihr Abschluss F kompakt. Die Menge F heißt Fundamentalmasche des Gitters ƒ. Wir sagen: zwei Punkte z; w 2 C sind konjugiert modulo ƒ, wenn z  w 2 ƒ.

 



 



 



   b   0s   



 

F





     a



 





 



 



  

Lemma 1.1.4 Sei F eine Fundamentalmasche des Gitters ƒ  C. Dann ist C D F C ƒ, genauer gilt: zu jedem z 2 C existiert genau ein  2 ƒ so dass z C  2 F . Wir können auch sagen: jeder Punkt von C ist modulo ƒ konjugiert zu genau einem Punkt von F .

1.1 Definition und erste Eigenschaften

3

Beweis: Sei a; b die Z-Basis von ƒ, zu der F assoziiert ist, also F D F .a; b/. Da a und b über R linear unabhängig sind, bilden sie eine R-Basis von C, für ein gegebenes z 2 C gibt es also r; v 2 R mit z D ra C vb. Man kann dann eindeutig bestimmte m; n 2 Z finden und t; s 2 Œ0; 1/ so dass r D mCt

und v D n C s :

Dann folgt z D ra C vb D ma C nb C ta C sb „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … 2F

2ƒ



und diese Darstellung ist eindeutig.

Wir beweisen nun die Proposition. Da die Funktion f holomorph ist, ist sie ins  besondere stetig, also ist f F kompakt, also beschränkt. Für ein beliebiges z 2 C gibt es nach dem Lemma ein  2 ƒ mit z C  2 F , also gilt f .z/ D f .z C / 2 f .F /, damit ist die Funktion f überhaupt beschränkt, nach dem Satz von Liouville also konstant.  Proposition 1.1.5 Sei F eine Fundamentalmasche eines Gitters ƒ und sei f eine ƒ-periodische meromorphe Funktion. Dann existiert w 2 C so dass f keinen Pol auf dem Rand der verschobenen Fundamentalmasche Fw D F C w hat. Für jedes solche w gilt dann Z f .z/ dz D 0 ; @Fw

wobei @Fw der positiv orientierte Rand von Fw ist. Beweis: Hat f Pole auf dem Rand von Fw für jedes w, dann muss f überabzählbar viele Pole haben, was der Meromorphie von f widerspricht. Sei also w so gewählt, dass keine Pole von f auf dem Rand von Fw liegen.

 



 



 



 



 



wCb    4   t  w   

 



 

 

   w C a C b

3  Fw 1 

 

  2     wCa





 



 



 



 





Der Integrationsweg @Fw zerlegt sich in die Wege 1 ; 2 ; 3 ; 4 wie im Bild. Nun ist 3 derselbe Weg wie 1 , nur um b 2 ƒ verschoben und in der umgekehrten

4

1 Doppelt-periodische Funktionen

Richtung laufend. Die Funktion f ändert sich nicht, wenn man das Argument um b verschiebt und die Umkehrung der Integrationsrichtung hat einen Zeichenwechsel zur Folge. Zusammen ergibt sich Z Z Z Z f .z/ dz C f .z/ dz D 0 und analog f .z/ dz C f .z/ dz D 0 ; 1

also insgesamt

3

R @Fw

2

f .z/ dz D 0 wie behauptet.

4



Proposition 1.1.6 Sei f periodisch zum Gitter ƒ und F eine Fundamentalmasche von ƒ. Für jedes w 2 C gilt X resz .f / D 0 : z2Fw

Beweis: Ist kein Pol auf dem Rand von Fw , so folgt die Aussage aus dem Residuensatz. Allgemein folgt sie, weil die Summe gar nicht von w abhängt, denn die Residuen ƒ-konjugierter Punkte sind gleich und damit folgt X X resz .f / D resz .f / : z2Fw  z 2 C mod ƒ Proposition 1.1.7 Sei F eine Fundamentalmasche zu dem Gitter ƒ und f sei eine ƒ-periodische meromorphe Funktion. Dann ist für jedes w 2 C die Anzahl der Nullstellen von f in Fw gleich der Anzahl der Polstellen von f in Fw . Beide werden hierbei mit Vielfachheiten gezählt. Beweis: Eine komplexe Zahl z0 ist genau dann eine Null- oder Polstelle von f der 0 Ordnung k 2 Z, wenn die Funktion ff einen einfachen Pol in z0 vom Residuum k hat. Damit folgt die Proposition aus der letzten Proposition, da auch die Funktion f0 doppelt-periodisch zum Gitter ƒ ist.  f

1.2 Die Weierstraßsche }-Funktion Bislang haben wir noch keine doppelt-periodische Funktion gesehen, wenn man von den konstanten Funktionen einmal absieht. In diesem Abschnitt werden wir doppeltperiodische meromorphe Funktionen konstruieren, indem wir Mittag-Leffler-Reihen betrachten, die ihre Pole in den Gitterpunkten haben. Zunächst brauchen wir ein Konvergenzkriterium. Dies beweisen wir in einer schärferen Form als wir jetzt im Moment brauchen, was sich später als nützlich erweisen wird. Sei b 2 C X f0g fest gewählt. Für jedes a 2 C X Rb ist ƒa D Za ˚ Zb ein Gitter.

1.2 Die Weierstraßsche }-Funktion

5

Lemma 1.2.1 Sei ƒ  C ein Gitter und sei s 2 C. Die Reihe X 2ƒ ¤0

1 jjs

konvergiert absolut, wenn Re.s/ > 2. Wir verschärfen diese Aussage wie P folgt. Wir fixieren b 2 CXf0g und betrachten die Gitter ƒa wie oben. Die Summe 2ƒa jj1 s ¤0

konvergiert gleichmäßig für .a; s/ 2 C  fRe.s/  ˛g, wobei C eine kompakte Teilmenge von C X Rb und ˛ > 2 ist. Beweis: Sein ˛ und C wie im Lemma gegeben. Wir können uns auf den Fall Re.s/ > 0 einschränken, da sonst das absolute Glied der Reihe nicht einmal gegen Null geht. Außerdem reicht es, den Fall s 2 R zu betrachten, da für s 2 C gilt j.jjs /j D jj Re.s/ . Dann ist die Funktion x 7! x s für x > 0 monoton wachsend. Sei F .a/ eine Fundamentalmasche von ƒa und sei a;s .z/

D

X 2ƒa ¤0

1 1F .a/C .z/ : jjs

Nach Konstruktion gilt jF .a/j

X 2ƒa ¤0

1 D jjs

Z a;s .x

C iy/ dx dy ;

C

wobei jF .a/j der Flächeninhalt von F .a/ ist. Die stetige Abbildung a 7! jF .a/j nimmt auf dem Kompaktum C Maximum und Minimum an. Es Rgilt a;s  a;˛ falls s  ˛, es reicht also, die (in a) gleichmäßige Konvergenz von C a;˛ .z/ dx dy zu zeigen. Sei r > 0 so groß, dass für jedes a 2 C der Durchmesser der Fundamentalmasche F .a/, diam.F .a// D supfjz  wj W z; w 2 F .a/g 1 für ein a;z 2 ƒa mit kleiner als r ist. Für jedes z 2 C ist a;˛ .z/ D ja;z js jz  a;z j < r. Es gilt dann für jedes a 2 C und z 2 C mit jzj  r,

ja;z j D ja;z  z C zj  ja;z  zj C jzj < r C jzj  2jzj : Auf der anderen Seite gilt für jzj  2r, ja;z j D ja;z  z  .z/j  jja;z  zj  jzjj  Setze R D 2r, dann gilt für jzj  R, R dass a 2 C . Die stetige Abbildung a 7! jzjR

1 s  2s jzj .z/ dx dy a

1 jzj : 2

 2s jzjs für jedes ist auf der kompakten Mena .z/

6

1 Doppelt-periodische Funktionen

ge Es folgt, dass die Reihe gleichmäßig für a 2 C konvergiert, wenn R C beschränkt. 1 dx dy < 1 gilt. Wir benutzen nun die Polarkoordinaten Transformati˛ jzj>R jzj on auf C. Hierzu erinnern wir uns, dass die Abbildung P W .0; 1/  .;  ! C, gegeben durch P .r; / D rei D r cos  C i r sin  eine Bijektion auf das Bild C X f0g ist. Die Funktionaldeterminante dieser Transformation ist r, also ergibt die Transformationsformel: Z

Z Z1 f .x C iy/ dx dy D

f .rei /r dr d  0

C

für jede integrierbare Funktion f . Hieraus folgt Z jzj>R

1 dx dy D 2 jzj˛

Z1 r 1˛ dr ; R



was die Behauptung liefert. In dem folgenden Satz definieren wir die Weierstraßsche }-Funktion.

Satz 1.2.2 Sei ƒ ein Gitter in C. Die Reihe 1 }.z/ def D z2 C

X 2ƒXf0g

1 1  2 2 .z  / 

konvergiert lokal gleichmäßig absolut in CXƒ. Sie definiert eine meromorphe, ƒ-periodische Funktion, die Weierstraßsche }-Funktion.

Beweis: Für jzj < 12 jj gilt j  zj  12 jj. Ferner gilt j2  zj  52 jj. Also ist ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ z.2  z/ ˇ jzj 52 jj 1 1 ˇˇ ˇˇ 2  .z  /2 ˇˇ 10jzj ˇ ˇ  ˇ D D  D ; ˇ .z  /2 2 ˇ ˇ 2 .z  /2 ˇ ˇ 2 .z  /2 ˇ jj3 jj2 41 jj2 so dass mit Lemma 1.2.1 die lokal-gleichmäßige Konvergenz folgt. Die Periodizität ist nicht sofort klar. Wir zeigen zunächst, dass } eine gerade Funktion ist: }.z/ D

X 1 C z2

2ƒXf0g

X 1 1 1  D C .z C /2 2 z2

2ƒXf0g

1 1  2 D }.z/ 2 .z  / 

1.2 Die Weierstraßsche }-Funktion

7

durch ersetzen von  durch . Da die Reihe lokal gleichmäßig konvergiert, dürfen wir gliedweise differenzieren. Die Ableitung, X

} 0 .z/ D 2

2ƒ

1 .z  /3

ist offensichtlich ƒ-periodisch. Daher ist für  2 ƒ die Funktion   }.z C / }.z/ konstant. Für z D  2 bestimmen wir diese Konstante zu } 2  }  2 D 0; da } gerade ist. 

Satz 1.2.3 (Laurent-Entwicklung von }) Sei r D minfjj W  2 ƒ X f0gg. Für 0 < jzj < r gilt 1

X 1 C .2n C 1/G2nC2 z 2n ; 2 z nD1

}.z/ D wobei Gk D Gk .ƒ/ D

P

1 2ƒXf0g k

für k  4:

Beweis: Für 0 < jzj < r und  2 ƒ X f0g gilt jz=j < 1, also 1 1 1 D   D 2 z 2 2 .z  /2   1 

1C

1 X

.k C 1/

kD1

 z k 

! ;

und damit 1 X 1 1 kC1 k  D z : .z  /2 2 kC2 kD1

Wir summieren über alle  und finden 1

}.z/ D

1

X X X 1 1 1 k C .k C 1/ z D C .k C 1/GkC2 z k ; z2 z2 kC2 kD1

¤0

kD1

wobei wir die Summationsreihenfolge vertauscht haben, was wegen absoluter Konvergenz der Doppelsumme erlaubt ist. Diese absolute Konvergenz wiederum folgt aus 1 1 X kC1 k 1 X kC1 k jzj  jzj jj3 jjkC2 jjk1 kD1

kD1

und Lemma 1.2.1. Da } gerade ist, verschwinden die GkC2 für ungerades k.



8

1 Doppelt-periodische Funktionen

1.3 Die Differentialgleichung der }-Funktion Wir zeigen die Differentialgleichung der Weierstraßschen }-Funktion, deren Koeffizienten, die Eisenstein-Reihen, die ersten Beispiele von Modulformen sind. Außerdem liefert diese Differentialgleichung einen Zusammenhang zwischen doppelt periodischen Funktionen und elliptischen Kurven, siehe hierzu die Anmerkungen am Ende des Kapitels. Satz 1.3.1 Die }-Funktion erfüllt die Differentialgleichung  0 2 } .z/ D 4} 3 .z/  60G4 }.z/  140G6 : Beweis: Wir zeigen, dass die Differenz beider Seiten keinen Pol bei Null mehr hat, also eine holomorphe ƒ-periodische Funktion ist, somit konstant. In einer Umgebung der Null gilt } 0 .z/ D  also

2 C 6G4 z C 20G6 z 3 C : : : ; z3

 0 2 4 24G4 } .z/ D 6  2  80G6 C : : : : z z

Andererseits 4} 3 .z/ D

4 36G4 C 2 C 60G6 C : : : ; 6 z z

so dass

 0 2 60G4 } .z/  4} 3 .z/ D  2  140G6 C : : : : z Wir erhalten schließlich  0 2 } .z/  4} 3 .z/ C 60G4 }.z/ D 140G6 C : : : wobei die linke Seite eine holomorphe ƒ-periodische Funktion ist, also konstant. Auswertung der rechten Seite in z D 0 zeigt, dass diese Konstante gleich 140G6 ist. 

1.4 Eisenstein-Reihen Für einen beliebigen Ring R sei M2 .R/ die Menge aller 2  2 Matrizen  mit Einträgen aus R. In der Linearen Algebra beweist man, dass eine Matrix ac db 2 M2 .R/ genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante in R invertierbar ist, wenn also gilt ad  bd 2 R  . Das wird zwar in der Regel nur für Körper formuliert, geht für einen beliebigen Ring aber genauso. Sei dann GL2 .R/ die Gruppe aller invertierbaren Matrizen in M2 .R/. Diese enthält die Untergruppe SL2 .R/ aller Matrizen mit

1.4 Eisenstein-Reihen

9

Determinante 1. Betrachten wir das Beispiel R D Z. Es ist Z D f1; 1g. Daher ist GL2 .Z/ die Gruppe aller Matrizen mit Determinante ˙1. Die Untergruppe SL2 .Z/ ist daher eine Untergruppe vom Index 2. P k Für k 2 N, k  4 konvergiert die Reihe Gk .ƒ/ D . Ist nun 2ƒXf0g   w 2 C , dann ist wƒ ebenfalls ein Gitter und es gilt Gk .wƒ/ D w k Gk .ƒ/ : Sind ˛; ˇ 2 C linear unabhängig über R, dann ist ƒ.˛; ˇ/ D Z˛ ˚ Zˇ ein Gitter in C. Ist z 2 C mit Im.z/ > 0, dann sind 1 und z linear unabhängig über R. Wir definieren die Eisenstein-Reihen als Funktionen auf der oberen Halbebene H D fz 2 C W Im.z/ > 0g durch Gk .z/ D Gk .ƒ.z; 1// D

X .m;n/¤.0;0/

1 ; .mz C n/k

wobei die Summe über alle m; n 2 Z erstreckt  wird, die nicht beide Null sind. In m . Die Gruppe  D SL2 .Z/ operiert Matrizenschreibweise ist mz C n D . z 1 / n     a b m 2 , durch Multiplikation von links. Sei also  D auf allen Paaren c d n so gilt insbesondere X

    X  m k  t m k z1 z1  D Gk .z/ D n n m;n m;n !!k   k  X X  a c m m z1 .az C b; cz C b/ D D n b d n m;n m;n !!k     X az C b m az C b k k D .cz C d / D .cz C d / Gk ; ;1 n cz C d cz C d m;n 

oder Gk

az C b cz C d

 D .cz C d /k Gk .z/ :

Proposition 1.4.1 Ist k  4 gerade, so gilt limy!1 Gk .iy/ D 2.k/, wobei .s/ D

1 X 1 ; s n nD1

Re.s/ > 1 ;

die Riemannsche Zetafunktion ist. (Siehe Aufgabe 1.3.)

10

1 Doppelt-periodische Funktionen

Beweis: Es gilt Gk .iy/ D 2.k/ C

X .m;n/ m¤0

1 : .miy C n/k

Wir behaupten, dass der zweite Summand für y ! 1 gegen Null geht. Dafür schätzen wir ab ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ X ˇX ˇ 1 1 ˇ ˇ  : ˇ ˇ k k n C mk y k ˇ .m;n/ .miy C n/ ˇ .m;n/ ˇ ˇ m¤0

m¤0

Jeder einzelne Summand auf der rechten Seite geht monoton fallend gegen Null, wenn y ! 1. Daher geht die gesamte Summe gegen Null nach dem Satz der Monotonen Konvergenz. 

1.5 Bernoulli-Zahlen und Zetawerte Wir haben gesehen, dass die Eisenstein-Reihen bei Unendlich Zetawerte annehmen. Später werden wir die genauen Werte dieser Zahlen benötigen, weshalb wir sie hier berechnen. In dem folgenden Lemma definieren wir die Bernoulli-Zahlen Bk . Lemma 1.5.1 Für k D 1; 2; 3; : : : gibt es eindeutig bestimmte rationale Zahlen Bk so dass für jzj < 2 gilt 1

X z z ez C 1 z z 2k .1/k Bk C D D 1 : z z e 1 2 2 e 1 .2k/Š kD1

Die ersten Werte sind B1 D 16 ; B2 D

1 ; 30

B3 D

1 ; 42

B4 D

1 ; 30

B5 D

5 . 66

z

Beweis: Sei f .z/ D ezz1 C z2 D z2 eez C1 . Dann ist f holomorph in fjzj < 2g, also 1 konvergiert auch die Potenzreihenentwicklung von f in diesem Kreis. Wir zeigen, dass f gerade ist: f .z/ D 

z ez C 1 z 1 C ez D f .z/ : D  2 ez  1 2 1  ez

Daher gibt es die Entwicklung Bk 2 C. Pmit Zahlen k Sei dann g.z/ D ezz1 D 1 c z . Wir haben zu zeigen, dass die ck rational kD0 k sind. Die Gleichung z D g.z/.ez  1/ liefert 0 1 1 n1 X X c j A: z D zn @ .n  j /Š nD0 j D0

1.6 Aufgaben und Anmerkungen

11

Man erhält c0 D 1 und für jedes n  2 ist cn1 eine rationale Linearkombination der cj mit j < n  1. Induktiv folgt also cj 2 Q.  Proposition 1.5.2 Für jede ganze Zahl k  1 gilt .2k/ D Die ersten Werte sind .2/ D

2 , 6

22k1 Bk  2k : .2k/Š 4 , 90

.4/ D

.6/ D

6 . 945

Beweis: Nach Definition des Kotangens gilt z cot z D zi

eiz C eiz : eiz  eiz

Indem wir z durch z=2i ersetzen wird daraus   z ez C 1 iz z D cot D f .z/ : 2i 2 2 ez  1 Hieraus ergibt sich z cot z D 1 

1 X

Bk

kD1

22k z 2k : .2k/Š

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens (siehe Aufgabe 1.6) lautet  1  X 1 1 1  cot.z/ D : C C z mD1 z C m zm Es folgt z cot z D 1 C 2

1 1 X X z2 z 2k D 1  2 ; z 2  n2  2 n2k  2k nD1 nD1 1 X

kD1

so dass wir erhalten 1 X kD1

1

Bk

1

X X z 2k 22k z 2k : D 2 .2k/Š n2k  2k nD1 kD1

Die Behauptung folgt durch Koeffizientenvergleich.



1.6 Aufgaben und Anmerkungen Aufgabe 1.1 Sei a 2 C X f0g. Eine Funktion f auf C heißt einfach periodisch zur Periode a, oder a-periodisch, falls f .z C a/ D f .z/ für jedes z 2 C gilt. Zeige:

12

1 Doppelt-periodische Funktionen

Sind a; b 2 C linear unabhängig über R, so ist eine Funktion f genau dann ƒ.a; b/periodisch, wenn sie a-periodisch und b-periodisch ist. Diese Tatsache erklärt den Terminus doppelt-periodisch. Aufgabe 1.2 Eine Untergruppe ƒ  C der additiven Gruppe .C; C/ heißt diskrete Untergruppe, falls ƒ in der Teilraumtopologie diskret ist, d. h., wenn es für jedes  2 ƒ eine offene Menge U  C gibt, so dass ƒ \ U D fg ist. Zeige (a) Eine Untergruppe ƒ  C ist genau dann diskret, wenn es eine offene Menge U0  C gibt mit U0 \ C D f0g. (b) Ist ƒ  C eine diskrete Untergruppe, so gibt es drei Möglichkeiten: entweder ist ƒ D f0g, oder es gibt ein 0 2 ƒ mit ƒ D Z0 , oder ƒ ist ein Gitter. (c) Eine diskrete Untergruppe ƒ  C ist genau dann ein Gitter, wenn die Quotientengruppe C=ƒ in der Quotiententopologie kompakt ist. (d) Ist ƒ  C ein Gitter, so ist eine Untergruppe †  ƒ genau dann ein Gitter, wenn sie endlichen Index hat, wenn also die Gruppe ƒ=† endlich ist. AufgabeP 1.3 Zeige, dass die Summe, die die Riemannsche Zetafunktion definiert, 1 s für Re.s/ > 1 absolut konvergiert. Hierbei kann der Beweis von .s/ D nD1 n Lemma 1.2.1 zur Orientierung dienen. Aufgabe 1.4 Seien ˛; ˇ; ˛0 ˇ0 2 C mit C D R˛ C Rˇ D R˛0 C Rˇ 0 . Zeige, 0 0 die dass  Gitter ƒ.˛; ˇ/ und ƒ.˛ ; ˇ / genau dann übereinstimmen, wenn es ein a b 2 GL .Z/ gibt mit 2 c d 

˛0 ˇ0



 a D c

b d

  ˛ : ˇ

Aufgabe 1.5 Sei f meromorph auf C und ƒ-periodisch für ein Gitter ƒ. Sei Fw D F C w eine verschobene Fundamentalmasche zu ƒ so dass auf @Fw keine Pol- oder Nullstelle von f liegt. Sei S.0/ die Summe aller Nullstellen von f in F (mit Vielfachheiten). Sei S.1/ die Summe aller Polstellen von f in F (mit Vielfachheiten). Zeige: S.0/  S.1/ 2 ƒ: (Hinweis: Integriere zf 0 .z/=f .z/.) Aufgabe 1.6 Zeige die Partialbruchentwicklung des Kotangens:  1  X 1 1 1 :  cot.z/ D C C z mD1 z C m zm (Hinweis: die Differenz beider Seiten ist periodisch und ganz. Zeige, dass sie beschränkt ist.) Aufgabe 1.7 Seien z; w 2 C und sei } die Weierstraß-}-Funktion zum Gitter ƒ. Zeige, dass }.z/ D }.w/ genau dann, wenn z C w oder z  w im Gitter ƒ liegt.

1.6 Aufgaben und Anmerkungen

13

Aufgabe 1.8 Sei ƒ ein Gitter in C und } die Weierstraß-}-Funktion zu ƒ. (a) Seien a1 ; : : : ; an und b1 ; : : : ; bm komplexe Zahlen. Zeige dass die Funktion Qn i D1 }.z/  }.ai / f .z/ D Qm j D1 }.z/  }.bj / eine gerade ƒ-periodische Funktion ist. (b) Zeige, dass jede gerade meromorphe ƒ-periodische Funktion eine rationale Funktion von } ist. (c) Zeige, dass jede ƒ-periodische meromorphe Funktion von der Form R.}.z//C } 0 .z/Q.}.z// ist, wobei R und Q rationale Funktionen sind.

Anmerkungen Setzt man g4 D 15G4 und g6 D 35G6 so sieht man, dass .x; y/ D .}; } 0 =2/ die Gleichung y 2 D x 3  g4 x  g6 erfüllt. Dies bedeutet, dass die Abbildung z 7! .}.z/; } 0 .z/=2/ die komplexe Mannigfaltigkeit C=ƒ bijektiv auf die durch die obige Gleichung beschriebene elliptische Kurve abbildet. Man erhält in der Tat alle elliptischen Kurven über C auf diese Weise, elliptische Kurven werden also durch Gitter in C parametrisiert. In dem Buch [29] findet man eine gute Einführung in die Theorie der elliptischen Kurven. Die in diesem Abschnitt auftretende Riemannsche Zetafunktion besitzt eine meromorphe Fortsetzung auf die ganze komplexe Ebene und erfüllt eine Funktionalgleichung, wie in 6.1.2 gezeigt wird. Die berühmte Riemann Hypothese besagt, dass jede Nullstelle der Funktion .s/ im Streifen 0 < Re.s/ < 1 bereits bei Re.s/ D 12 liegt. Diese Aussage gilt als die am härtesten umkämpfte ungelöste Vermutung der gesamten Mathematik.

Kapitel 2

Modulformen für SL2 .Z/

In diesem Kapitel führen wir den Begriff der Modulform und ihrer L-Funktion ein. Wir bestimmen den Raum der Modulformen, indem wir eine explizite Basis angeben. Wir betrachten Hecke-Operatoren und zeigen, dass die L-Funktion einer Hecke-Eigenform sich in ein Euler-Produkt entwickeln lässt.

2.1 Die Modulgruppe Wir erinnern an den Begriff einer Gruppenoperation. Definition 2.1.1 Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Operation der Gruppe G auf X ist eine Abbildung GX ! X; geschrieben .g; x/ 7! gx, derart dass gilt 1x D x

und g.hx/ D .gh/x ;

wobei x 2 X und g; h 2 G beliebige Elemente sind und 1 für das Einselement der Gruppe G steht. Dies ist der übliche Begriff einer Gruppenoperation, bei der die Gruppe von links operiert. Es gibt aber auch noch den Begriff der Rechtsoperation, der in Lemma 2.2.2 erklärt wird. Unter diesen Umständen ist die Abbildung x 7! gx stets invertierbar, denn ihre Umkehrabbildung ist x 7! g 1 x. Die Gruppe GL2 .C/ operiert auf der Menge C2 X f0g durch Matrizenmultiplikation. Da diese Operation linear ist, operiert die Gruppe auch auf dem projektiven Raum P1 .C/, den wir als die Menge aller eindimensionalen Untervektorräume von C2 definieren. Jeder Vektor in C2 X f0g spannt einen solchen Unterraum auf und zwei Vektoren geben genau dann denselben Unterraum, wenn sie durch die natürliA. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

15

2 Modulformen für SL2 .Z/

16

che C -Operation auseinander hervorgehen. Mit anderen Worten, wir haben einen kanonischen Isomorphismus  ı P1 .C/ Š C2 X f0g C : Die Elemente von P1 .C/ schreibt man als Œz; w, wobei .z; w/ 2 C2 X f0g und Œz; w D Œz 0 ; w 0  , 9 2 C W .z 0 ; w 0 / D .z; w/ : Ist w ¤ 0, so existiert genau ein Vertreter der Form Œz; 1 und die Abbildung z 7! Œz; 1 ist eine Injektion C ,! P1 .C/, mittels der wir C als eine Teilmenge von P1 .C/ auffassen können. Das Komplement von C in P1 .C/ besteht aus einem einzigen Punkt 1 D Œ1; 0, so dass P1 .C/ die Einpunktkompaktifizierung b C D C [ f1g ist, die wir auch als Riemannsche Zahlenkugel kennen. Wir lassen nun GL2 .C/ ope  rieren via g:.z; w/ D .z; w/gt , dann ist mit g D ac db ,  g:Œz; 1 D Œaz C b; cz C d  D

 az C b ;1 ; cz C d

azCb hat genau einen Pol in b C, also wird falls cz C d ¤ 0. Die rationale Funktion czCd hierdurch eine Operation von GL2 .C/ auf der Riemannschen Zahlenkugel definiert:

g:z D

az C b ; cz C d

wobei wir setzen g:z D 1, falls cz C d D 0. Man beachte, dass cz C d und az C b nicht gleichzeitig Null sein können (Aufgabe 2.1). Auf der anderen Seite gilt ( a falls c ¤ 0 ; g:1 D lim g:z D c z!1 1 sonst.   Die Matrizen der Form   mit  ¤ 0 operieren trivial. Daher reicht es, die Operation auf die Gruppe SL2 .C/ D fg  2 GL2 .C/ W det.g/ D 1g einzuschränken. Man beachte, dass das Element 1 D 1 1 trivial operiert. b Lemma 2.1.2 Die   Gruppe SL2 .C/ operiert transitiv auf der Zahlenkugel C. Das Element 1 1 operiert trivial. Wenn wir diese Operation auf die Untergruppe C in drei Bahnen: H und H, sowie die Menge G D SL2 .R/ einschränken, zerfällt b b R D R [ f1g.   :1, also ist die Operation transitiv. Beweis: Sei z 2 C, dann gilt z D z1 z1 1 b Ferner folgt,dass R in der G-Bahn von 1 liegt. Für g D ac db 2 G und z 2 C rechnet man leicht nach, dass gilt Im.g:z/ D

Im.z/ : jcz C d j2

2.1 Die Modulgruppe

17

Damit lässt die Operation von G die drei genannten Mengen invariant. Es ist leicht zu sehen, dass b R eine G-Bahn ist. Wir zeigen, dass G auf H transitiv operiert. Sei z D x C iy 2 H, dann gilt 1 0p y pxy Ai : z D @ p1 0 y  Definition 2.1.3 Sei GITT die Menge aller Gitter in C. Sei BAS die Menge aller RBasen von C, also die Menge aller Paare .z; w/ 2 C2 , die über R linear unabhängig sind. Sei BASC die Teilmenge aller Basen, die im Uhrzeigersinn orientiert sind, also aller .z; w/ 2 BAS mit Im.z=w/ > 0. Wir erhalten eine natürliche Abbildung: ‰ W BASC ! GITT ; indem wir definieren ‰.z; w/ D Zz ˚ Zw : Dies Abbildung ist surjektiv, aber nicht injektiv, denn z. B. ‰.z Cw; w/ D ‰.z; w/. C t Die Gruppe  D SL2 .Z/ operiert  BAS durch :.z; w/ D .z; w/ D  a bauf .az C bw; cz C dw/ falls  D c d . Hierbei sei daran erinnert, dass eine invertierbare reelle Matrix die Orientierung einer Basis genau dann erhält, wenn ihre Determinante positiv ist. Die Gruppe  D SL2 .Z/ wird die Modulgruppe genannt. Lemma 2.1.4 Zwei Basen werden unter ‰ genau dann auf dasselbe Gitter abgebildet, wenn sie in derselben -Bahn liegen. Also stiftet ‰ eine Bijektion Š

‰ W n BASC ! GITT : Beweis: Seien .z; w/ und .z 0 ; w 0 / zwei im Uhrzeigersinn orientierte Basen mit ‰.z; w/ D ƒ D ‰.z 0 ; w 0 /. Da z 0 ; w 0 Elemente des von z und w erzeugten  Git ters sind, gibt es a; b; c; d 2 Z mit .z 0 ; w 0 / D .az C bw; bz C dw/ D .z; w/ ac db . liegen, gibt es Da andersherum z und w in demvon z0 und w 0 erzeugten Gitter a b ˛ ˇ  ˛ ˇ 0 0 D .z; w/. Da ˛; ˇ; ; ı 2 Z mit .z; w/ D .z w /  ı , ergo .z; w/ c d  ı a b ˛ ˇ    z und w über R linear unabhängig sind, folgt hieraus c d D 1 1 und  ı   damit ist  D ac db ein Element von GL2 .Z/. Damit ist det. / D ˙1. Da  eine im Uhrzeigersinn orientierte Basis, nämlich .z; w/ auf eine im Uhrzeigersinn orientierte Basis, nämlich .z 0 ; w 0 / abbildet, ist det. / > 0, also det. / D 1 und damit  2 , also liegen die beiden Basen in derselben -Bahn. Die andere Richtung ist trivial.  Die Menge BASC ist etwas unhandlich, deshalb dividiert man noch eine C -Operation heraus. Die Gruppe C operiert auf BASC durch Multiplikation .a; b/ D .a; b/. Es ist .a; b/ D b.a=b; 1/, also hat jede C -Bahn genau einen

2 Modulformen für SL2 .Z/

18

Vertreter der Form .z; 1/ mit z 2 H. Diese Operation kommutiert mit der Operation von , also operiert C auf n BASC . Ferner operiert C durch Multiplikation auf GITT und die Abbildung ‰ übersetzt eine Operation in die andere, d. h. es gilt ‰..z; w// D ‰.z; w/. Da ‰ bijektiv ist, sind also die beiden C -Operationen isomorph und insbesondere wirft ‰ die Bahnenräume bijektiv aufeinander, stiftet also eine Bijektion Š

‰ W n BASC =C ! GITT =C :   Sei nun z 2 H, dann ist .z; 1/ 2 BASC . Ist  D ac db 2 , dann ist modulo der C -Operation:  az C b ; 1 C : .z; 1/ t C D .az C b; cz C d /C D cz C d Das bedeutet, wenn wir  durch gebrochen lineare Transformationen auf H operieren lassen, ist die Abbildung z 7! .z; 1/C äquivariant unter . Satz 2.1.5 Die Abbildung z 7! Zz C Z liefert eine Bijektion Š

nH ! GITT =C : Beweis: Die Abbildung ist die Verkettung der Abbildungen '

Š

nH ! n BASC =C ! GITT =C und damit wohldefiniert. Wir müssen nur zeigen, dass ' bijektiv ist. Für die Surjektivität sei .v; w/ 2 BASC , dann ist .v; w/C D .v=w; 1/C und v=w 2 H, also ist ' surjektiv. Für die Injektivität nimm an: '.z/ D '.w/. Das bedeutet  .z; 1/C D .w; 1/C , es existieren also  D ac db 2  und  2 C mit .w; 1/ D .z; 1/. Die rechte Seite ist .z; 1/ D .az C b; cz C d / D .w; 1/ ; woraus durch Vergleich der zweiten Komponenten folgt, dass  D .cz C d /1 gilt azCb und somit w D czCd D :z, wie behauptet.  Definition ist durch den Umstand motiviert, dass das Element 1 D   1Die folgende 1 trivial auf der oberen Halbebene H operiert. Definition 2.1.6 Sei  D = ˙ 1. Für eine Untergruppe † von  sei † das Bild von † in . Es gilt dann ( Œ W † falls  1 2 † ; Œ W † D 1 Œ W † sonst. 2

2.1 Die Modulgruppe

Seien

19

 0 S D 1 def

Es gilt Sz D

1 ; 0 1 ; z

 1 T D 0 def

1 1

:

Tz D z C1;

sowie S 2 D 1 D .S T /3 . Es sei D die Menge aller z 2 H mit j Re.z/j < 12 und jzj > 1, siehe das weiter unten folgende Bild. Sei D der Abschluss von D in H. Die Menge D ist ein sogenannter Fundamentalbereich für die Gruppe SL2 .Z/, siehe Definition 2.5.15.

Satz 2.1.7 (a) Für jedes z 2 H gibt es ein  2  mit z 2 D. (b) Liegen z; w 2 D mit z ¤ w in derselben -Bahn, dann gilt Re.z/ D ˙ 12 und z D w ˙ 1, oder jzj D 1 und w D 1=z. In jedem Fall liegen beide Punkte auf dem Rand von D. (c) Für z 2 H sei z der Stabilisator von z in . Für z 2 D ist z D f˙1g außer wenn • z D i , dann ist z von der Ordnung vier, erzeugt von S , • z D  D e2 i=3 , dann ist z von Ordnung sechs, erzeugt von S T , • z D  D e i=3 , dann ist z von Ordnung sechs, erzeugt von T S . (d) Die Gruppe  wird erzeugt von S und T .

2 Modulformen für SL2 .Z/

20

Beweis: Sei  0 die Untergruppe von  erzeugt von S und T . Wir zeigen dass es zu jedem z 2 H ein  0 2  0 gibt mit  0 z 2 D. Sei also g D ac db in  0 . Für z 2 H gilt Im.z/ Im.gz/ D : jcz C d j2 da c und d ganze Zahlen sind, ist für jedes M > 0 die Menge aller Paare .c; d / mit jcz C d j < M endlich. Daher existiert  2  0 so dass Im.z/ maximal ist. Wähle eine ganze Zahl n so dass T n z einen Realteil in Œ1=2; 1=2 hat. Wir behaupten dass das Element w D T n z in D liegt. Es reicht zu zeigen, dass jwj  1 ist. Wäre jwj < 1, so hätte das Element 1=w D S w einen Imaginärteil echt größer als I m.w/, was nicht möglich ist. Also ist in der Tat w D T n z in D und insbesondere ist Teil (a) bewiesen.   Wir beweisen Teil (b) und (c) gemeinsam. Sei z 2 D und sei 1 ¤  D ac db 2  mit z 2 D. Wir können das Paar .z;  / auch durch .z;  1 / ersetzen und können annehmen, dass Im.z/  Im.z/ gilt, also jcz C d j  1. Dies ist nicht möglich für jcj  2, also bleiben die Fälle c D 0; 1; 1. • Ist c D 0, dann muss d D ˙1 sein und wir können d D 1 annehmen. Dann ist z D z C b und b ¤ 0. Da die Realteile beider Zahlen in Œ1=2; 1=2 liegen, folgt b D ˙1 und Re.z/ D ˙1=2. • Ist c D 1, so impliziert jz C d j  1 schon d D 0, außer im Fall z D ;  in welchem Fall wir auch d D 1; 1 haben können. – Ist d D 0, dann ist jzj D 1 und ad  bc D 1 impliziert b D 1, also gz D a  1=z und hieraus ergibt sich a D 0 außer im Fall Re.z/ D ˙ 12 , also z D ; . – ist z D  und d D 1, so folgt a  b D 1 und g D a  1=.1 C / D a C , also a D 0; 1. Der Fall z D  ist ähnlich. • Ist c D 1, so kann man die ganze Matrix durch ihr negatives ersetzen und ist auf den Fall c D 1 zurückgeführt. Es bleibt zu zeigen  D  0 . Hierzu sei  2  und z 2 D. Dann existiert ein  2  0 mit  0 z D z, also  D  01 2  0 .  0

2.2 Modulformen Wir führen nun die Protagonisten dieses Kapitels ein. Dies geschieht in Definition 2.2.9. Vorher beginnen wir mit schwach modularen Funktionen. Definition 2.2.1 Sei k 2 Z. Eine meromorphe Funktion f auf H heißt schwach modular vom Gewicht k, falls gilt  az C b D .cz C d /k f .z/ f cz C d   für jedes z 2 H, in dem f definiert ist, und jedes ac db 2 SL2 .Z/.

2.2 Modulformen

21

Beachte: Existiert eine solche Funktion f ¤ 0, so muss k gerade sein, da die   Matrix 1 1 in SL2 .Z/ liegt.   azCb Für  D ac db 2 G bezeichnen wir die induzierte Abbildung z 7! z D czCd ebenfalls mit . Dann gilt 1 d.z/ : D dz .cz C d /2 Das bedeutet, dass eine holomorphe Funktion genau dann schwach modular vom Gewicht 2 ist, wenn die Differentialform ! D f .z/dz auf H invariant unter  ist, d. h., wenn   ! D ! für jedes  2  gilt, wobei   ! die unter der Abbildung  W H ! H zurückgezogene Differentialform bezeichnet. Allgemeiner definieren wir für k 2 Z und f W H ! C:  az C b def k f jk .z/ D .cz C d / f ; cz C d   wobei  D ac db 2 G. Wenn k fest gewählt ist, lassen wir es in der Notation weg, d. h., wir schreiben f j D f jk . Lemma 2.2.2 Durch f 7! f j wird eine lineare (Rechts-)Operation der Gruppe G auf dem Raum der Funktionen f W H ! C definiert, d. h., • für jedes  2 G ist die Abbildung f 7! f j linear, • es gilt f j1 D f und f j. 0 / D .f j/j 0 . Jede Rechtsoperation lässt sich durch Inversenbildung in eine Linksoperation verwandeln, d. h. man definiert f D f j 1 und hat dann . 0 /f D . 0 f /. Beweis: Die einzige nichttriviale Aussage ist f j. 0 / D .f j/j 0 . Für k D 0 ist diese Aussage einfach: f j. 0 /.z/ D f . 0 z/ D f j. 0 z/ D .f j/j 0 .z/ : Sei j.; z/ D .cz C d /. Man rechnet nach, dass dieser „Automorphiefaktor“ eine sogenannte Cozykelrelation erfüllt: j. 0 ; z/ D j.;  0 z/j. 0 ; z/ : Nun ist ja f jk .z/ D j.; z/k f j0 .z/, also f jk . 0 /.z/ D j. 0 ; z/k f j0 . 0 /.z/ D j.;  0 z/k j. 0 ; z/k .f j0 /j0  0 .z/ D .f jk /jk  0 .z/ :  Lemma 2.2.3 Sei k 2 2Z. Eine meromorphe Funktion f auf H ist genau dann schwach modular vom Gewicht k, wenn für jedes z 2 H gilt f .z C 1/ D f .z/

und f .1=z/ D z k f .z/ :

2 Modulformen für SL2 .Z/

22

Beweis: Nach Definition ist f genau dann modular, wenn gilt f jk  D f für jedes  2 , also wenn f unter der Gruppenaktion von  invariant ist. Es reicht, diese Invarianz auf den beiden Erzeugern S und T zu überprüfen.  Wir kommen nun zur Definition einer modularen Funktion. Sei zunächst f eine schwach modulare Funktion. Wir stellen fest, dass die Abbildung q W z 7! e2 iz die obere Halbebene surjektiv auf die punktierte Kreisscheibe D D fz 2 C W 0 < jzj < 1g abbildet. Zwei Punkte z; w in H haben genau dann dasselbe Bild unter q, wenn es ein k 2 Z gibt, so dass w D z C k ist. Also induziert q eine Bijektion q W ZnH ! D . Insbesondere gibt es zu jeder schwach modularen Funktion f auf H eine Funktion fQ auf D X fPolstelleng mit f .z/ D fQ.q.z// : Das bedeutet, dass für w 2 D gilt fQ.w/ D f



log w 2 i

;

wobei log w ein beliebiger Zweig des holomorphen Logarithmus ist, der in einer Umgebung von w definiert ist. Es folgt, dass fQ eine meromorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe ist. Definition 2.2.4 Eine schwach modulare Funktion f vom Gewicht k heißt modulare Funktion vom Gewicht k, falls die induzierte Funktion fQ meromorph auf der Kreisscheibe D D fz 2 C W jzj < 1g ist. Man sagt zu dieser Eigenschaft auch, dass f meromorph im Unendlichen ist. Dies bedeutet, dass fQ.q/ in q D 0 höchstens einen Pol besitzt. Es folgt, dass die Pole von fQ in D sich nicht in q D 0 häufen können, da sonst eine wesentliche Singularität vorläge. Für die Funktion f bedeutet dies, dass es eine Schranke T D Tf > 0 gibt, so dass f keine Pole in fz 2 H W Im.z/ > T g hat. Wir brauchen die Fourier-Entwicklung der Funktion f . Wir müssen wissen, dass die Fourier-Reihe gleichmäßig konvergiert. Dies zeigen wir in folgendem Lemma, wobei C 1 .R=Z/ verstanden werden kann als die Menge aller unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen g W R ! C, die periodisch sind mit Periode 1, für die also gilt g.x C 1/ D g.x/, x 2 R. Definition 2.2.5 Sei D  R eine unbeschränkte Menge. Eine Funktion f W D ! C heißt schnell fallend, falls für jedes N 2 N die Funktion x N f .x/ auf dem Definitionsbereich D beschränkt ist. Für D D N erhält man als Spezialfall den Begriff einer schnell fallenden Folge. 1 schnell fallend. Beispiele 2.2.6 • Für D D N ist die Folge ak D kŠ x • Für D D Œ0; 1/ ist die Funktion f .x/ D e ist schnell fallend. 2 • Für D D R ist die Funktion f .x/ D ex schnell fallend.

2.2 Modulformen

23

Proposition 2.2.7 (Fourier-Reihe) Ist g 2 C 1 .R=Z/, so gilt für jedes x 2 R, X ck .g/e2 i kx ; g.x/ D k2Z

R1 wobei ck .g/ D 0 g.t/e2 i k t dt ist und die Summe gleichmäßig konvergiert. Die Fourier-Koeffizienten ck D ck .g/ sind schnell fallend in k 2 Z. Die Fourier-Koeffizienten ck .g/ sind eindeutig in dem folgenden Sinne. Sei .ak /k2Z eine Familie komplexer Zahlen so dass für jedes x 2 R gilt 1 X

g.x/ D

ak e2kx ;

kD1

wobei die Reihe lokal-gleichmäßig konvergiert, dann ist ak D ck .g/ für jedes k 2 Z. Beweis: Wir wenden partielle Integration an und erhalten für k ¤ 0 ˇ ˇ 1 ˇ ˇ ˇ ˇZ ˇ ˇ Z1 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 jck .g/j D ˇˇ g.t/e2 i t k dt ˇˇ D ˇˇ g 0 .t/e2 i k t dt ˇˇ ˇ 2 i k ˇ ˇ ˇ 0 0 ˇ ˇ ˇ ˇ Z1 Z1 ˇ ˇ 1 1 00 2 i k t ˇ ˇ g .t/e dt ˇ  jg00 .t/j dt : Dˇ 2 2 4 2 k 2 ˇ ˇ 4 k 0

0

Durch Iteration erhalten wir, dass ck .g/ schnell fallendP ist. Insbesondere folgern P wir, dass k2Z jck .g/j < 1, also konvergiert die Reihe k2Z ck .g/e2 i kx gleichmäßig. Wir müssen nur feststellen, dass sie gegen g konvergiert. Es reicht dies im Punkte x D 0 zu tun, denn nehmen wir an, wir haben die Aussage für x D 0 gezeigt, dann sei gx .t/ D g.x C t/, so gilt X ck .gx / : g.x/ D gx .0/ D k

R1

Es ist nun ck .gx / D 0 g.t C x/e2 i k t dt P D e2 i kx ck .g/, also folgt die Behauptung. Wir müssen also nur zeigen g.0/ D k ck .g/. Wir können uns auf den Fall g.0/ D 0 zurückziehen indem wir g.x/ durch g.x/ P  g.0/ ersetzen. Wir nehmen also an, dass g.0/ D 0 und müssen zeigen, dass k ck .g/ D 0. Sei h.x/ D

g.x/ : 1

e2 ix

Da g.0/ D 0, ist h 2 C 1 .R=Z/ und es gilt Z1 ck .g/ D 0

h.x/.e2 ix  1/e2 i kx dx D ck1 .h/  ck .h/ :

2 Modulformen für SL2 .Z/

24

P

Da h 2 C 1 .R=Z/, konvergiert die Reihe k ck .h/ ebenfalls absolut und es gilt P P c .g/ D .c .h/  ck .h// D 0. k k1 k k Nun zur Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten. Sei .ak /k2Z wie in der Proposition. Wegen der lokal-gleichmäßigen Konvergenz ist die folgende Vertauschung von Integration und Summation gerechtfertigt. Für l 2 Z gilt Z1 cl .g/ D

g.t/e

2 i lt

dt D

Z1 X 1

0

D

0 1 X

kD1

Z1 ak

ak e2kt e2 i lt dt

kD1

e2kt e2 i lt dt :

0

Nun ist Z1

e2kt e2 i lt dt D

0

Z1 e2.kl/t dt D 0

8 0 der Fall ist. Für ein solches y ist die Folge .cn .y//n2Z schnell fallend. Lemma 2.2.8 Sei f eine modulare Funktion auf H und sei T > 0 so dass f keine Pole in fIm.z/ > T g hat. Für jedes n 2 Z und y > T gilt cn .y/ D an e2 ny für eine Konstante an . Es gilt f .z/ D

C1 X

an e2 i nz ;

nDN

wobei N die Polordnung der induzierten meromorphen Funktion fQ im Punkte q D 0 ist. Für jedes a > 0, ist die Folge an eajnj schnell fallend.

2.2 Modulformen

25





q ist Beweis: Die induzierte Funktion fQ mit f .z/ D fQ.q.z// oder fQ.q/ D f log 2 i meromorph. Es folgt, dass fQ in einer punktierten Umgebung der Null eine LaurentEntwicklung hat 1 X an w n : fQ.w/ D nD1

ersetzt man w durch q.z/, so erhält man f .z/ D

C1 X

an e2 i nz :

nD1

Wegen der Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten folgt die Behauptung.



Wir halten insbesondere fest, dass die Fourier-Entwicklung einer modularen Funktion gleich der Laurent-Entwicklung der induzierten Funktion fQ im Nullpunkt ist. Definition 2.2.9 Eine modulare Funktion f heißt Modulform, falls f holomorph ist in H und holomorph in 1, d. h. an D 0 für jedes n < 0. Eine Modulform f heißt Spitzenform, falls zusätzlich a0 D 0 gilt. Man sagt dann auch, dass f in 1 verschwindet. Als Beispiele betrachten wir die Eisenstein-Reihen Gk für k  4. Wir schreiben q D e2 iz . Proposition 2.2.10 Für gerades k  4 gilt Gk .z/ D 2 .k/ C 2 wobei k .n/ D

P d jn

1 .2 i /k X k1 .n/q n ; .k  1/Š nD1

d k die k-te Teilerpotenzsumme ist.

Beweis: Auf der einen Seite haben wir die Partialbruchzerlegung des Kotangens cot. z/ D

1  X 1 1 1 : C C z mD1 z C m zm

Andererseits gilt cot. z/ D Also

1 X cos. z/ qC1 2 i qn : D i D i  D i  2 i sin. z/ q1 1q nD0

1  1 X X 1 1 1 D i  2 i C C qn : z mD1 z C m zm nD0

2 Modulformen für SL2 .Z/

26

Durch wiederholtes Differenzieren beider Seiten bekommen wir für k  4 1 X 1 1 k D nk1 q n : .2 i / k .k  1/Š .z C m/ nD1 m2Z

X

Die Eisenstein-Reihe ist nun X

Gk .z/ D

.n;m/¤.0;0/

D 2 .k/ C D 2 .k/ C

1 X X 1 1 D 2 .k/ C 2 k .nz C m/ .nz C m/k nD1 m2Z

1 1 2.2 i /k X X k1 ad d q .k  1/Š aD1 d D1 1 k X

2.2 i / .k  1/Š

k1 .n/q n :

nD1



Damit ist die Proposition bewiesen.

Sei f eine modulare Funktion vom Gewicht k. Für  2  zeigt die Formel f .z/ D .cz C d /k f .z/, dass die Verschwindungsordnungen von f in z und z übereinstimmen. Das bedeutet, dass ordz f nur vom Bild von z in nH abhängt. Wir definieren außerdem ord1 .f / als die Verschwindungsordnung von fQ.q/ in q D 0, wobei fQ.e2 iz / D f .z/. Schließlich sei für z 2 H die Zahl 2ez die Ordnung der Stabilisatorgruppe von z in , also ez D j2z j . Es gilt dann

ez

8 ˆ 0, dass größer ist als jeder Imaginärteil eines Poles von f . Es folgt Z X f0 1 ordz .f / : D 2 i f z2nH z¤i;



Andererseits: (a) Die Substitution q D e2 iz transformiert die Strecke Kreis ! um q D 0 von negativer Orientierung. Also 1 2 i

 12 CiT

Z

f0 1 D f 2 i

1 2 CiT

Z

Z k./

C iT;  21 C iT in einen

f0 D  ord1 .f / : f

!

(b) Das Kreissegment k./ um  hat Radius 1 2 i

1 2

2 , 6

also gilt nach Aufgabe 2.4:

1 f0 !  ord .f / ; f 6

2 Modulformen für SL2 .Z/

28

wenn der Radius des Kreissegmentes gegen Null geht. Ebenso mit den Kreissegmenten k.i / und k./, Z Z f0 f0 1 1 1 1 !  ordi .f /; !  ord .f / : 2 i f 2 2 i f 6 k.i /

k./

(c) Die senkrechten Wegintegrale heben sich auf. (d) Die beiden Segmente s1 ; s2 des Einheitskreises gehen durch die Transformation z 7! S z D z 1 ineinander über. Es gilt f0 f0 k .S z/S 0 .z/ D C .z/ : f z f Also 1 2 i

Z s1

f0 1 C f 2 i

Z s2

f0 1 D f 2 i

Z  s1

1 D 2 i

Z s1

f0 f0 .z/  .S z/S 0 .z/ f f

dz

k k dz ! : z 12

Vergleicht man die beiden Ausdrücke für das Integral und macht den Grenzübergang, so folgt die Behauptung. Hat f weitere Pole oder Nullstellen auf dem Rand, modifiziert man den Weg  , so dass der diese umgeht.  Sei Mk D Mk ./ der komplexe Vektorraum der Modulformen vom Gewicht k und Sk der Raum der Spitzenformen vom Gewicht k. Dann ist Sk  Mk der Kern der linearen Abbildung f 7! f .1/. Beachte, dass eine holomorphe Funktion f auf H mit f jk  D f für jedes  2  genau dann in Mk liegt, wenn der Limes lim

f .z/

Im.z/!1

existiert. In der Differentialgleichung der }-Funktion erscheinen die Koeffizienten g4 D 60G4 ;

g6 D 140G6 :

Es folgt g4 .1/ D 120 .4/ und g6 .1/ D 280 .6/. Nach Proposition 1.5.2 gilt

.4/ D

4 ; 90

und .6/ D

6 : 945

Also folgt mit  D g43  27g62 ; dass .1/ D 0, d. h.,  ist eine Spitzenform vom Gewicht 12.

2.2 Modulformen

29

Satz 2.2.12 Sei k eine gerade ganze Zahl. (a) Für k < 0 und k D 2 ist Mk D 0. (b) Für k D 0; 4; 6; 8; 10 ist Mk ein eindimensionaler Vektorraum mit Basis 1; G4 ; G6 ; G8 ; G10 . In diesen Fällen ist Sk D 0. (c) Multiplikation mit  definiert einen Isomorphismus Š

Mk12 ! Sk :

Beweis: Sei f 2 Mk nicht Null. Alle Terme links in der Gleichung ord1 .f / C

X 1 1 k ordz .f / D ordi .f / C ord .f / C 2 3 12 z2nH z¤i;

sind  0. Daher ist k  0 und auch k ¤ 2, denn 1=6 kann nicht in der Form a C b=2 C c=3 geschrieben werden mit a; b; c 2 N0 . Damit ist (a) bewiesen. Ist 0  k < 12, dann muss ord1 .f / D 0 sein und daher folgt Sk D 0 und damit dim Mk  1. Damit folgt (b). Die Funktion  hat Gewicht 12, also k D 12. Sie ist eine Spitzenform, also ord1 ./ > 0. Es folgt, dass ord1 ./ D 1 und dass  keine weiteren Nullstellen hat. Die Multiplikation mit  ist injektiv und für 0 ¤ f 2 Sk ist f = 2 Mk12 , also ist die Multiplikation mit  auch surjektiv.  Korollar 2.2.13 (a) Es gilt dim Mk D

8 0 mit Ank1  jan j  Bnk1 : Beweis: Es gibt eine Konstante A > 0 so dass für n  1 gilt jan j D Ak1 .n/  Ank1 . Auf der anderen Seite: 1

X 1 X 1 jan j D A  A D A .k  1/ < 1 : nk1 d k1 d k1 d jn

d D1



Satz 2.3.2 (Hecke) Ist f eine Spitzenform vom Gewicht k, dann gilt an D O.nk=2 / :

Beweis: Da f eine Spitzenform ist, gilt f .z/ D O.q/ D O.e2y / für q ! 0 oder y ! 1. Sei .z/ D y k=2 jf .z/j. Dann folgt, dass invariant unter  ist. Ferner ist stetig und .z/ ! 0 für y ! 1. Also ist beschränkt, es existiert also eine R1 Konstante C > 0 mit jf .z/j  Cy k=2 . Es gilt an D 0 f .x C iy/q n dx; damit also jan j  Cy k=2 e2 ny : Diese Abschätzung gilt für jedes y > 0. Für y D 1=n erhält man jan j  e2 Cnk=2 .  Bemerkung. Der Exponent kann verbessert werden. Deligne hat gezeigt, dass für eine Spitzenform gilt  k 1  an D O n 2  2 C" für jedes " > 0. Korollar 2.3.3 Für jede Funktion f 2 Mk ./ mit Fourier-Entwicklung f .z/ D P 1 2 i nz gilt nD0 an e an D O.nk1 / : Beweis: Dies folgt aus Korollar 2.2.13, sowie Proposition 2.3.1 und Satz 2.3.2. 

2 Modulformen für SL2 .Z/

32

2.4 L-Funktionen In diesem Abschnitt kommen wir zu der Kernfrage, warum Modulformen auch für andere Zweige der Mathematik so wichtig sind. Den Modulformen werden L-Funktionen zugeordnet, indem man ihre Fourier-Koeffizienten zu Koeffizienten von Dirichlet-Reihen, den sogenannten L-Funktionen, macht. Diese L-Funktionen sind vermutungsweise universell in dem Sinne, dass L-Funktionen, die in ganz anderen Kontexten definiert sind, sich als identisch mit modularen L-Funktionen erweisen. Im Beispiel der L-Funktionen bestimmter elliptischer Kurven ist dies von Andrew Wiles bewiesen worden und war die Grundlage für seinen Beweis von Fermats letztem Satz [35]. Definition 2.4.1 Sei f eine Spitzenform vom Gewicht k. Dann hat f eine FourierEntwicklung 1 X f .z/ D an e2 i nz : nD1

Sei L.f; s/ D

1 X nD1

an

1 ; ns

s2C

die L-Reihe oder L-Funktion zu f . Lemma 2.4.2 Die Reihe L.f; s/ konvergiert lokal-gleichmäßig absolut im Bereich Re.s/ > k2 C 1. Beweis: In Satz 2.3.2 haben wir gezeigt, dass an D O.nk=2 /. Dann ist an ns D k O.n 2 Re.s/ /. Damit folgt die Behauptung.  Definition 2.4.3 Die Gamma Funktion ist für Re.z/ > 0 definiert durch das Integral Z1 .z/ D

et t z1 dt :

0

Lemma 2.4.4 Das Gamma-Integral konvergiert lokal gleichmäßig absolut im Bereich Re.z/ > 0 und definiert dort eine holomorphe Funktion. Sie erfüllt die Funktionalgleichung .z C 1/ D z.z/ : Die Gamma-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion auf C mit einfachen n Polen in z D n, n 2 N0 fortgesetzt werden. Das Residuum in z D n ist .1/ nŠ . Ansonsten ist .z/ holomorph.

2.4 L-Funktionen

33

Da et schneller fällt als jede Potenz von t, konvergiert das Integral RBeweis: 1 t z1 dt für jedes z 2 C, und zwar lokal-gleichmäßig. Für 0 < t < 1 ist der 1 e t R1 Integrand  t Re.z/1 , also konvergiert das Integral 0 et t z1 dt lokal-gleichmäßig für Re.z/ > 0. Da zt z1 die Ableitung von t z ist, rechnet man mit Hilfe von partieller Integration: Z1

t

z 0

e .t / dt D

z.z/ D 0

ˇ

1 et t z ˇ0 C

„ ƒ‚ … D0

Z1

et t z dt :

0

„ ƒ‚ … D.zC1/

Nun ist .z/ holomorph in Re.z/ > 0. Die Formel .z/ D z1 .z C 1/ setzt dann .z/ nach Re.z/ > 1 mit einem einfachen Pol bei z D 0 vom Residuum .1/ D R 1 t e dt D 1 fort. Die weitere meromorphe Fortsetzung erhält man durch Iteration 0 dieses Argumentes. 

Satz 2.4.5 Sei f eine Spitzenform vom Gewicht k. Dann hat die L-Funktion L.f; s/ eine analytische Fortsetzung zu einer ganzen Funktion. Die Funktion s ƒ.f; s/ def D .2 / .s/L.f; s/

ist ebenfalls ganz und erfüllt die Funktionalgleichung ƒ.f; s/ D .1/k=2 ƒ.f; k  s/ : Die Funktion ƒ.f; s/ ist auf jedem Vertikalstreifen beschränkt, d. h., für jedes T > 0 existiert ein CT > 0 so dass jƒ.f; s/j  CT für jedes s 2 C mit j Re.s/j  T gilt. P n Beweis: Sei f .z/ D 1 nD1 an q . Nach Satz 2.3.2 gibt es eine Konstante C > 0 so k=2 dass jan j  Cn gilt für jedes n 2 N. Daher ist für y  ", wobei " > 0 gegeben ist: ˇ1 ˇ 1 ˇX ˇ X ˇ 2 ny ˇ jf .iy/j D ˇ an e nk=2 e2 ny  Dey ;  C ˇ ˇ ˇ nD1

nD1

P k=2 " n e < 1. Also schnell fallend für y  ". wobei D D C 1 nD1 n P ist f .iy/2yn Dasselbe gilt auch für die Funktion y 7! 1 ja je . Wir erhalten also für nD1 n jedes s 2 C, Z1 X 1 jan je2yn jy s1 j dy < 1 : "

nD1

2 Modulformen für SL2 .Z/

34

Wir dürfen also im Folgenden wegen absoluter Konvergenz für Integration und Summation vertauschen: Z1 f .iy/y

s1

dy D

"

Z1 X 1 nD1

"

D

1 X

Z1 an

nD1

D

1 X

k 2

e2 ny y s1 dy

"

an .2 n/

nD1

Für Re.s/ >

an e2 ny y s1 dy

s

Z1

ey y s1 dy :

"

C 1 konvergiert die rechte Seite gegen .2 /s .s/L.f; s/ D ƒ.f; s/ ;

wenn " gegen Null geht. Andererseits gilt f .i y1 / D f . iy1 / D .yi /k f .iy/, f .i=y/ schnell fallend ist. Daher konvergiert die linke Seite gegen Rso1dass auch s1 f .iy/y dy, wenn " ! 0. Zusammen folgt für Re.s/ > k2 C 1, dass 0 Z1 f .iy/y s1 dy D ƒ.f; s/ : 0

R1 R1 Wir schreiben das Integral als Summe 0 C 1 . Da f .iy/ schnell fallend ist, konR1 vergiert das Integral ƒ1 .f; s/ D 1 f .iy/y s1 dy für jedes s 2 C und definiert daher eine ganze Funktion. Wegen Z1 jƒ1 .f; s/j 

jf .iy/jy Re.s/1 dy; 1

ist die Funktion ƒ1 .f; s/ auf allen Vertikalstreifen beschränkt. Für das zweite Integral gilt Z1 ƒ2 .f; s/ D

f .iy/y 0

s dy

y

Z1 D 1

 Z1 1 dy s dy k=2 f i f .iy/y ks ; y D .1/ y y y 1

also ƒ2 .f; s/ D .1/k=2 ƒ1 .f; k  s/. Damit folgt die Behauptung.



2.4 L-Funktionen

35

Satz 2.4.6 (Heckes Sei an eine Folge in C so dass die DirichletP Umkehrsatz) s Reihe L.s/ D 1 a n für Re.s/ > C konvergiert für ein C 2 R. Falls n nD1 die Funktion ƒ.s/ D .2 /s .s/L.s/ sich zu einer ganzen Funktion fortsetzt, die die Funktionalgleichung ƒ.s/ D .1/k=2 ƒ.k  s/ erfüllt, dann gibt es eine Spitzenform f 2 Sk mit L.s/ D L.f; s/.

Beweis: Wir machen eine Anleihe aus der Analysis in Form der Inversionsformel der Fourier-Transformation: Für f 2 L1 .R/ sei Z f .x/e2 ixy dx : fO.y/ D R

Ist f zweimal stetig differenzierbar so dass f; f 0 ; f 00 2 L1 .R/, dann ist fO.y/ D O..1 C jyj/2 /, also ist fO 2 L1 .R/. Es gilt dann die Fourier-Inversionsformel: O fO.x/ D f .x/ : Einen Beweis findet man in jedem der Bücher [7, 27, 32]. Wir benutzen diese Aussage nun zum Beweis der Mellin-Inversionsformel.

Satz 2.4.7 (Mellin-Inversionsformel) Sei g zweimal stetig differenzierbar auf dem Intervall .0; 1/ und für ein c 2 R gelte  dx c cC1 0 cC2 00 1 x g.x/; x g .x/; x g .x/ 2 L RC ; : x Dann existiert die Mellin Transformation Z1 Mg.s/ D

x s g.x/

def

dx x

0

für Re.s/ D c, es gilt Mg.c C i t/ D O..1 C jtj/2 /, sowie 1 g.x/ D 2 i

cCi Z 1

x s Mg.s/ ds :

ci 1

2 Modulformen für SL2 .Z/

36

Beweis: Sei Re.s/ D c. Wir schreiben dann s D c  2 iy für ein y 2 R. Substituieren wir x D et , so erhalten wir Z Z st t e g.e / dt D ect g.et / e2 iyt dt D FO .y/ ; Mg.s/ D R

R

für F .t/ D ect g.et /. Aus den Voraussetzungen folgt, dass F zweimal stetig differenzierbar ist und dass F; F 0 ; F 00 2 L1 .R/ gilt. Ferner ist FO .y/ D Mg.c  2 iy/. Daher folgt nach der Fourier-Inversionsformel: Z FO .y/e2 iyt dy ect g.et / D F .t/ D FOO .t/ D R

Z D

Mg.c  2 iy/e2 iyt dy R

ect D 2 i

cCi Z 1

Mg.s/ est ds :

ci 1



Damit ist der Satz bewiesen.

Wir beweisen nun Heckes Sei also an eine Folge in C so dass die P Umkehrsatz. s Dirichlet-Reihe L.s/ D 1 a n für Re.s/ > C konvergiert für ein C 2 R. nD1 n Wir definieren 1 X f .z/ D an e2 i nz : nD1

Es gibt ein N 2 N so dass für Re.s/  N die Dirichlet-Reihe L.s/ absolut konvergiert. Daher ist an D O.nN /, also konvergiert die Reihe f .z/ lokal gleichmäßig in H und definiert eine holomorphe Funktion auf H. Wir müssen zeigen, dass f eine Spitzenform vom Gewicht k ist. Da  von S und T erzeugt wird, reicht es, zu zeigen f .1=z/ D z k f .z/. Da f holomorph ist, reicht es nach dem Identitätssatz, zu zeigen dass f .i=y/ D .iy/k f .iy/ für y > 0 gilt. Zunächst wollen wir zeigen, dass die Mellin-Transformation der Funktion g.y/ D f .iy/ existiert und dass die Mellin-Inversionsformel gilt. Es gilt ˇ1 ˇ 1 ˇX ˇ X ˇ 2 ny ˇ jf .iy/j D ˇ an e nN e2 ny : ˇ  konst. ˇ ˇ nD1 nD1 „ ƒ‚ … DgN .y/

Sei nun g0 .y/ D

1 X nD0

e2 ny D

1 1 C h.y/ D 1  e2y 2 y

2.4 L-Funktionen

37

für ein in y D 0 holomorphes h. Dann ist gN .y/ D

1 c1 g0.N / .y/ D N C1 C h.N / .y/ ; N .2 / y

also jgN .y/j  y NCC1 für y ! 0. Damit gilt dieselbe Abschätzung für f .iy/. Für y > 1 ist jf .iy/j kleiner als eine Konstante mal gN .y/ D

1 X

nN e2 ny  e2.y1/

nD1

1 X

nN e2 n D e2y e2 gN .1/ :

nD1

Also ist f .iy/ schnell fallend für y ! 1. Dieselben Abschätzungen gelten auch für jede Ableitung von f , wobei eventuell N vergrößert werden muss. Damit konvergiert das Mellin-Integral Mg.s/ für Re.s/ > N C1 und da f .iy/ schnell fallend ist für y ! 1, sind auch die Voraussetzungen der Mellin-Inversionsformel erfüllt. Nach der Mellin-Inversionsformel gilt für jedes c > N C 1, f .iy/ D

1 2 i

cCi Z 1

ƒ.s/y s ds :

ci 1

Wir brauchen ein klassisches Resultat der komplexen Analysis, welches seinerseits aus dem Maximum-Prinzip folgt. Lemma 2.4.8 (Phragmen-Lindelöf Prinzip) Sei .s/ eine holomorphe Funktion auf dem Streifen a  Re.s/  b für reelle Zahlen a < b. Für jedes a    b ˛ gelte . C i t/ D O.ejt j / für ein ˛ > 0. Es gebe ein M 2 R mit . C i t/ D M O..1 C jtj/ / für  D a und  D b. Dann gilt . C i t/ D O..1 C jtj/M / gleichmäßig für alle  2 Œa; b. 

Beweis: Siehe etwa [6], Kapitel VI, oder [30, 31].

Wir wenden dieses Prinzip auf den Fall D ƒ und a D k  c sowie b D c an. Wir verschieben den Integralweg nach Re.s/ D c 0 D k  c, wo das Integral nach der Funktionalgleichung ja auch konvergiert. Diese Verschiebung ist möglich nach dem Phragmen-Lindelöf Prinzip. Es folgt 1 f .iy/ D 2 i

kcCi Z 1

ƒ.s/y kci 1

.1/k=2 D 2 i

s

.1/k=2 ds D 2 i

kcCi Z 1

ƒ.k  s/y s ds

kci 1

cCi Z 1

ƒ.s/y sk ds D .iy/k f .i=y/ :

ci 1



2 Modulformen für SL2 .Z/

38

2.5 Hecke-Operatoren Wir führen die Hecke-Operatoren ein, die durch Summation über Nebenklassen von Matrizen fester Determinante entstehen. Später werden wir eine Interpretation dieser Operatoren in adelischem Rahmen kennenlernen. Sei n 2 N und sei Mn die Menge aller Matrizen in M2 .Z/ mit Determinante n. Wir lassen die Gruppe  D SL2 .Z/ durch Multiplikation von links auf Mn operieren. Lemma 2.5.1 Die Menge Mn zerfällt in endlich viele -Bahnen unter der Multiplikation von links. Genauer ist die Menge 

 a b Rn D W a; d 2 N; ad D n; 0  b < d d ein Vertretersystem von nMn . Schreibweise: Hier und im Rest des Buches benutzen wir die Konvention, dass  wir den Eintrag Null in einer Matrix weglassen können, d. h., a db steht für die   Matrix a0 db . Beweis: Wir müssen zeigen,  dass jede -Bahn die Menge Rn in genau einem Ele ment trifft. Hierzu sei ac db 2 Mn . Für x 2 Z ist 

1 x

 a 1 c

b d



 D

a c C ax

b : d C bx

Man kann also, modulo , annehmen, dass 0  c < jaj gilt. Wegen    c d a b 1 D a b c d 1 kann man abwechselnd a und c (bis aufs Vorzeichen) vertauschen und reduzieren, so dass man schließlich c D 0 erhält. Wir haben also gezeigt, dass jede -Bahn ein  Element der Form a db enthält. Es ist dann ad D det D n und da 1 2 , kann man a; d 2 N annehmen. Wegen    a b C dx a b 1 x D d d 1 kann man schließlich verlangen 0  b < d , also trifft jede -Bahn die Menge Rn . Bleibt zu zeigen, dass in Rn , die in derselben -Bahn liegen, gleich  zwei  Elemente 0 0  sind. Seien hierzu a db ; a db 0 2 Rn in derselben -Bahn. Dann gibt es ein y . xz w / 2  mit   0     a a b x y b0 : D D az  d z w d0

2.5 Hecke-Operatoren

39

Da a ¤ 0, folgt z D 0. Dann ist xw D 1, also x D w D ˙1. Wegen  x

y w

 a

b d



 

 ax D 

ist a0 D ax > 0, also ist x > 0 und damit x D 1 D w, also a0 D a und d 0 D d . Es gilt dann     a b0 a b C dy a b 1 y ; D D d d 1 d so dass die Bedingung 0  b; b 0 < d schließlich b D b 0 erzwingt.



Sei GL2 .R/C die Menge aller g 2 GL2 .R/ mit positiver Determinante. Die Gruppe GL2 .R/C operiert auf der oberen Halbebene H via  a c

az C b b : z D d cz C d

  Das Zentrum R 1 1 operiert trivial.  Für k 2 2Z, eine Funktion f auf H und  D ac f jk .z/ D det. /

k=2

.cz C d /

k

b d

 

f

2 GL2 .R/C schreiben wir az C b cz C d

:

Wenn k fixiert ist, schreiben wir auch einfach f j.z/. Beachte, dass die Potenz der Determinante so gewählt wurde, dass das Zentrum von GL2 .R/C trivial operiert. Sei  D SL2 .Z/. Für n 2 N definieren wir den Hecke-Operator Tn wie folgt. Definition 2.5.2 Sei V der Vektorraum aller Funktion f W H ! C mit f j D f für jedes  2 . Wir definieren Tn W V ! V durch k

Tn f D n 2 1

X

f jy :

yWnMn k

Der Faktor n 2 1 dient zur Normalisierung. Die Summe ist wohldefiniert und endlich, denn f j D f für jedes  2  und nMn ist endlich. Um zu sehen, dass Tn f wieder in V liegt, rechnen wir für  2 : k

Tn f j D n 2 1

X

k

.f jy/j D n 2 1

yWnMn k

D n 2 1

X yWnMn

X yWnMn

f jy D Tn f :

f jy

2 Modulformen für SL2 .Z/

40

Mit Hilfe von Lemma 2.5.1 können wir schreiben Tn f .z/ D nk1

X

d k f



ad Dn 0b 0 seien f; g stetige Funktionen mit f jk  D f für jedes  2 † und ebenso für g. Ferner sei die †-invariante Funktion jf .z/y k=2 j beschränkt auf H und ebenso für g. Dann definieren wir Z 1 f .z/g.z/y k d .z/ : hf; gik def D Œ W † †nH

2 Modulformen für SL2 .Z/

46

Ist nun ˛ 2 GL2 .Q/C , so ist † D ˛1 ˛ \  eine Untergruppe von endlichem Index in . Beweis hierzu: Nach Proposition 2.5.12 können wir annehmen, dass ˛ D . r rn / ist, mit r 2 Q und n 2 N. Es gilt dann   a nb b 1 a ˛ ˛ D c ; c d d n   damit enthält † die Gruppe .n/ aller Matrizen  2 SL2 .Z/ mit   1 1 mod n. Diese Gruppe ist genau der Kern des Gruppenhomomorphismus SL2 .Z/ ! SL2 .Z=n/. Da die Gruppe SL2 .Z=n/ endlich ist, hat auch † endlichen Index in . Definition 2.5.15 Sei   SL2 .Z/ eine Untergruppe. Ein Fundamentalbereich zu  ist eine offene Teilmenge F  H, so dass es ein Vertretersystem R von nH gibt mit F  R  F und .F X F / D 0 ; wobei das Maß

dx dy y2

ist.

S Insbesondere folgt dann  2  F D H, also wird jeder Punkt in H von mindestens einem -Translat von F getroffen. Lemma 2.5.16 Sei F  H ein Fundamentalbereich zur Gruppe   SL2 .Z/. Für jede messbare, -invariante Funktion f auf H gilt dann Z Z f .z/ d .z/ D f .z/ d .z/ ; F

nH

wobei D dxydy das invariante Maß ist. Dies bedeutet insbesondere, dass das erste 2 Integral genau dann existiert, wenn das zweite existiert. Beweis: Die Projektion p W H ! nH bildet F injektiv R auf eine Teilmenge ab, deren Komplement eine Nullmenge ist. Daher gilt nH f .z/ d .z/ D R p.F / f .z/ d .z/. Da das Maß auf dem Quotienten nH als Abstieg des Maßes auf H definiert ist, ist die Bijektion p W F ! p.F / auch maßerhaltend und damit folgt die Behauptung.  Lemma 2.5.17 (a) D ist ein Fundamentalbereich für  D SL2 .Z/. (b) Ist † eine Untergruppe von  D SL2 .Z/ mit endlichem Index und ist S ein Vertretersystem von †n, so ist [ D SD D  2S

ein Fundamentalbereich für †. Die Menge S   ist durch den Fundamentalbereich SD eindeutig festgelegt.

2.5 Hecke-Operatoren

47

Beweis: Teil (a) folgt aus Satz 2.1.7. S (b) Da † endlichen Index hat, ist S endlich. Also gilt SD D  2S  D. Sei nun S R ein Vertretersystem von nH mit D  R  D. Dann ist R† D  2S R ein Vertretersystem von †nH mit SD  R†  SD: Ferner gilt 0 1 1 0 [ [ [ D X D A  @  D X D A

.SD X SD/ D @ 0 D @

 2S

[  2S

 2S

1

.D X D/A 

 2S

X

.D X D/ D 0 :

 2S

Der Zusatz folgt aus der Tatsache, dass für  ¤  in  die Translate D und D disjunkt sind.  O für  2 S heißen die Spitzen des Fundamentalbereichs SD. Die Punkte  1 2 R O Sie liegen stets in Q D Q [ f1g. Diese Wortwahl wird plausibel, wenn man statt der oberen Halbebene den Einheitskreis E D fz 2 C W jzj < 1g betrachtet. Die Cayley-Abbildung: zi .z/ def D z Ci ist eine Bijektion von H nach E so dass sowohl  als auch ihre Inverse  1 holomorph sind. Transportiert man den Fundamentalbereich SD mit  in den Einheitskreis, so sind die Spitzen genau die Punkte, an denen der Fundamentalbereich den Rand des Kreises berührt, und zwar in einem Segment, dass von zwei Kreisen berandet wird, die sich tangential berühren, der Fundamentalbereich wird also tatsächlich unendlich spitz in dem Randpunkt, der deshalb Spitze heißt. Da die spezifische Wahl eines Vertretersystems S nicht wichtig ist, schreiben wir auch D† für den Fundamentalbereich SD. Lemma 2.5.18 Das Petersson-Skalarprodukt ist invariant unter GL2 .Q/C in folgendem Sinne. Seien f; g 2 Mk , eine der beiden in Sk . Dann ist für jedes ˛ 2 GL2 .Q/C das Skalarprodukt hf j˛; gj˛ik in obigem Sinne wohldefiniert und ist gleich hf; gik . Beweis: Sei  D SL2 .Z/ und † D ˛˛ 1 \ , sowie †0 D ˛ 1†˛ D ˛ 1˛ \ . Für f 2 Mk hat die Funktion h D f j˛ die Eigenschaft, dass hj D h ist für jedes  2 †0 , denn  D ˛ 1  ˛ für ein  2 , also hj D f j˛ D f j ˛ D f j˛ D h : Dasselbe gilt für g, also ist das Skalarprodukt hf j˛; gj˛i wohldefiniert. Beachte nun Im.z/ Im.˛z/ D det ˛ jcz C d j2   für ˛ D c d 2 GL2 .Q/C .

2 Modulformen für SL2 .Z/

48

In der folgenden Rechnung benutzen wir die GL2 .Q/C -Invarianz des Maßes und die Tatsache, dass wir nach Lemma 2.5.16 Integration über †nH mit der Integration über einen Fundamentalbereich gleichsetzen können. Wir erhalten Z 1 f .z/g.z/ Im.z/k d .z/ hf; gik D Œ W † †nH

D

D

D

1 Œ W † 1 Œ W † 1 Œ W †

Z f .z/g.z/ Im.z/k d .z/ D†

Z f .˛z/g.˛z/ Im.˛z/k d .z/

˛ 1 D†

Z

f j˛.z/gj˛.z/ Im.z/k d .z/ D hf j˛; gj˛ik : †0 nH

Hier wurde benutzt, dass ˛1 D† ein Fundamentalbereich zu †0 ist. Des Weite0 ren ist Œ W † D Œ W † , denn es gilt Œ W † D .D† /= .D/ D 0 

.˛1 D† /= .D/ D Œ W † : Hieraus folgt auch ˝ ˛ ˝ ˛ hf jy; gi D f jyjy 1 ; gjy 1 D f; gjy 1 ; und damit hTn f; gi D nk1

X

hf jy; gi D nk1

yWnMn

X ˝

˛ f; gjy 1 :

yWnMn

˛ ˝ Da f und g beide -invariant sind, hängt der Ausdruck f; gjy 1 nur von der Doppelnebenklasse y 1  ab. Diese ist aber nach Korollar 2.5.13 gleich der Dop1 pelnebenklasse von det.y/ y. Da das Zentrum trivial auf Mk operiert, operiert diese Matrix aber wie y. Also ist X hTn f; gi D nk1 hf; gjyi D hf; Tn gi : yWnMn

Damit gibt es also Basen von Mk und Sk bestehend aus simultanen Eigenfunktionen aller Hecke-Operatoren und Satz 2.5.14 ist bewiesen.  P n Satz 2.5.19 Sei f .z/ D 1 nD0 c.n/q eine nicht-konstante, simultane Eigenfunktion der Hecke-Operatoren, d. h. für jedes n existiert eine Zahl .n/ 2 C so dass Tn f D .n/f .

2.5 Hecke-Operatoren

49

(a) Der Koeffizient c.1/ ist nicht Null. (b) Ist f so normalisiert, dass c.1/ D 1, dann gilt c.n/ D .n/ für jedes n 2 N.

Beweis: Nach Korollar 2.5.6 ist der Koeffizient von q in Tn f gleich c.n/. Andererseits ist dieser Koeffizient gleich .n/c.1/. Wäre also c.1/ D 0, so wären alle c.n/ D 0 und damit f D 0. Beide Behauptungen folgen.  Eine Hecke-Eigenform f 2 Mk heißt normalisiert, falls der Koeffizient c.1/ von q gleich 1 ist. Korollar 2.5.20 Sei k > 0. Zwei normalisierte Hecke-Eigenformen, die unter den Tn die gleichen Eigenwerte haben, stimmen überein. Beweis: Seien f; g 2 Mk mit Tn f D .n/f und Tn g D .n/g für jedes n 2 N. Nach dem Satz stimmen alle Koeffizienten der q-Entwicklung von f und g überein mit möglicher Ausnahme des nullten. Das bedeutet, dass die Differenz f  g konstant ist. Da k > 0 ist, gibt es keine konstante Modulform vom Gewicht k außer der Null. Also ist f D g.  Korollar 2.5.21 Sei die Funktion f .z/ D Eigenform. Dann gilt

P1 nD0

c.n/q n eine normalisierte Hecke-

• c.mn/ D c.m/c.n/ falls .m; n/ D 1, • c.p/c.p n / D c.p nC1 / C p k1 c.p n1 /, n  1. Beweis: Die Behauptung folgt aus den entsprechenden Relationen der HeckeOperatoren (Proposition 2.5.4).  P n Korollar 2.5.22 Sei f .z/ D 1 normalisierte Eigenform nD0 c.n/q 2 Mk eineP s der Hecke-Algebra, dann hat die L-Funktion L.f; s/ D 1 von f ein nD1 c.n/n Euler-Produkt: Y 1 L.f; s/ D ; s C p k12s 1  c.p/p p welches für Re.s/ > k konvergiert. Beweis: Nach Korollar 2.3.3 ist c.n/ D O.nk1 /. Also konvergiert die L-Reihe für Re.s/ > k absolut. Sei also Re.s/ > k. Dann konvergiert auch die partielle Reihe X n2p N0

c.n/ns D

1 X nD0

c.p n /p sn

2 Modulformen für SL2 .Z/

50

Q

absolut. Sei N 2 N und pN bezeichne das endliche Produkt, welches über alle Primzahlen p  N läuft. Da c.mn/ D c.m/c.n/ für teilerfremde m; n, gilt 1 Y X

X

c.p n /p sn D

pN nD0

c.n/ns ;

n2N pjn)pN

wobei die Summe auf der rechten Seite über alle natürlichen Zahlen n erstreckt wird, die nur von Primzahlen  N geteilt werden. Da die L-Reihe absolut konvergiert, so konvergiert auch die rechte Seite für N ! 1 gegen L.f; s/, wir haben also 1 X

L.f; s/ D

c.m/ms D

1 YX

c.p n /p sn :

p nD0

mD1

Es bleibt zu zeigen: 1 X

c.p n /p ns D

nD0

1 : 1  c.p/p s C p k12s

Wir multiplizieren aus: 1 X

! n

c.p /p

ns



1  c.p/p s C p k12s



nD0

D

1 X

 p ns c.p n / 

nD0

c.p/c.p n / „ ƒ‚ …

p s C p k1 c.p n /p 2s



Dc.p nC1 /Cp k1 c.p n1 /; n1

D 1  c.p/p s C p k12s C

1 X

c.p n /p ns  c.p nC1 /p .nC1/s

nD1

  p k1 c.p n1 /p .nC1/s  c.p n /p .nC2/s D 1  c.p/p s C p k12s C c.p/p s  p k1 p 2s D 1 :



2.6 Kongruenzuntergruppen In der Theorie der Automorphen Formen betrachtet man auch Modulare Funktionen, die die Invarianzbedingung nur für Untergruppen von SL2 .Z/ erfüllen. Die wichtigsten Untergruppen sind hierbei die Kongruenzuntergruppen.

2.6 Kongruenzuntergruppen

51

Definition 2.6.1 Sei N 2 N. Die Gruppe .N / D ker.SL2 .Z/ ! SL2 .Z=N Z// heißt Hauptkongruenzuntergruppe der Stufe N . Es ist also 

 a b W a  d  1 mod N; b  c  0 mod N : .N / D c d Eine Untergruppe   SL2 .Z/ heißt Kongruenzuntergruppe, falls es ein N 2 N gibt mit .N /  . Beachte, dass für N > 2 die Gruppe .N / nicht mehr das Element 1 enthält. Es kann daher für eine solche Gruppe † Funktionen f ¤ 0 auf  der oberen Halbebene geben mit f .z/ D .cz C d /k f .z/ für jedes  D c d 2 †, wobei k ungerade sein darf, also ungerade Gewichte sind möglich für Kongruenzuntergruppen. Sei also k  0 eine ganze Zahl. Lemma 2.6.2 (a) Der Schnitt zweier Kongruenzuntergruppen ist eine Kongruenzuntergruppe. (b) Sei  eine Kongruenzuntergruppe von .1/ D SL2 .Z/ und sei ˛ 2 GL2 .Q/. Dann ist .1/ \ ˛˛ 1 ebenfalls eine Kongruenzuntergruppe. Beweis: (a) Seien ; †  .1/ Kongruenzuntergruppen. Dann existieren M; N 2 N mit .M /  , .N /  †. Es ist .MN /  ..M / \ .N //  . \ †/. (b) Sei N  2 so dass .N /  . Es gibt natürliche Zahlen M1 ; M2 so dass M1 ˛; M2 ˛ 1 2 M2 .Z/. Sei M D M1 M2 N . Wir wollen zeigen .M /  ˛˛ 1 oder ˛ 1 .M /˛  . Für  2 .M / schreiben wir  D I C M g mit g 2 M2 .Z/. Es folgt ˛ 1  ˛ D I C N.M2 ˛ 1 /g.M1 ˛/ 2 .N /  .  Sei D ein Fundamentalbereich der Kongruenzuntergruppe wie in Lemma 2.5.17. Die Spitzen des Fundamentalbereichs D liegen in der Menge .1/1 D Q [ f1g : Die Fixgruppe .1/1 des Punktes 1 in .1/ ist ˙

1

Z 1

 .

Lemma 2.6.3 Sei  eine Untergruppe von endlichem Index in .1/. Für jedes c 2 Q [ f1g existiert ein c 2 GL2 .Q/C so dass • c 1 D c und 8 ! ˆ 1 Z ˆ ˆ 1 …  ; ˆ < 1 1 ! • c c c D ˆ 1 Z ˆ ˆ 1 2  : ˆ˙ : 1 Das Element c ist eindeutig bestimmt bis auf Multiplikation von rechts mit einer  Matrix der Form a 1 x1 mit einem x 2 Q und einem a 2 Q . Beweis: Ist c 2 Q so schreibe c D ˛= teilerfremd, dann existieren ˇ; ı 2 Z mit  ˛ ˇ ˛ı  ˇ D 1, also  D  ı 2 SL2 .Z/. Es folgt 1 D c. Wir ersetzen  durch die Gruppe  1  und haben die Behauptung auf den Fall c D 1 zurückgeführt.

2 Modulformen für SL2 .Z/

52

Nimm  also an c D 1.  Da  endlichen   Index in .1/ hat, existieren m > k 2 Z mit  1 m1   D 1 k1 , also 1 mk 1  kleinstes n 2 N 2 . Daher gibt 1esnZein oder ˙ mit 1 n1 2 . Das heißt aber 1 D 1 nZ 1 1 . Damit folgt die  1=n  Behauptung mit c D . 1 Nun zur Eindeutigkeit von c . Sei c0 ein weiteres Element von GLC 2 .Q/ mit denselben Eigenschaften. Sei g D c1 c0, also c0 D c g. Aus der ersten Eigenschaft folgt g1 D 1, also ist g D a bc eine obere Dreiecksmatrix. Betrachte  nun  zuerst  den Fall 1 … . Dann folgt aus der zweiten  Eigenschaft, dass g1 1 Z1 g D 1 Z1 . Insbesondere folgt g1 1 11 g D 1 ˙1 1 , woraus sich die Behauptung ergibt. Der Fall 1 2  geht ähnlich.  Definition 2.6.4 Sei  eine Untergruppe von endlichem Index in SL2 .Z/. Eine meromorphe Funktion f auf H heißt schwach modular vom Gewicht k bezüglich , wenn gilt f jk  D f für jedes  2 . Die Funktion f heißt modular, wenn für es für jede Spitze c 2 Q[f1g überdies ein Tc > 0 gibt, so dass X ac;n e2 i nz f jc .z/ D nNc

für Im.z/ > Tc und ein Nc 2 Z, d. h. die Fourier-Entwicklung an der Spitze c ist nach unten beschränkt, was man auch so ausdrückt, dass man sagt: die Funktion ist meromorph an jeder Spitze. Diese Bedingung ist nach Lemma 2.6.3 unabhängig von der Wahl des Elementes c , wohingegen die Fourier-Koeffizienten durchaus von dieser Wahl abhängen. Die Funktion f heißt Modulform vom Gewicht k zur Gruppe , wenn f modular ist und überall holomorph (inklusive Spitzen, was bedeutet, dass ac;n D 0 ist für n < 0 an jeder Spitze c). Eine Modulform heißt Spitzenform, falls die nullten FourierKoeffizienten ac;0 für alle Spitzen c verschwinden. Die Räume der Modulformen und der Spitzenformen werden mit Mk ./ und Sk ./ bezeichnet. Das Petersson-Skalarprodukt, bisher nur für .1/ D SL2 .Z/ definiert, kann auch für Spitzenformen einer beliebigen Kongruenzuntergruppe  definiert werden. Seien also f; g 2 Sk ./, dann setzen wir Z 1 dx dy f .z/g.z/y k : hf; giPet D Œ.1/ W  y2 nH

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen In der Theorie der Automorphen Formen betrachtet man neben den holomorphen auch nichtholomorphe Funktionen der oberen Halbebene, die sogenannten Maaßschen Wellenformen. Unter diesen gibt es ebenfalls eine Version der Eisenstein-

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

53

Reihen, die wir in diesem Abschnitt definieren. Die Rankin-Selberg-Methode besagt, dass das Skalarprodukt einer nichtholomorphen Eisenstein-Reihe mit einer Wellenform gleich der Mellin-Integral-Transformierten des nullten FourierKoeffizienten der Wellenform ist. Das bedeutet insbesondere, dass die EisensteinReihen orthogonal zu den Spitzenformen stehen, ein Umstand, der für die automorphe Spektraltheorie von Wichtigkeit ist. Definition 2.7.1 Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe für  D SL2 .Z/ wird für z D x C iy 2 H und s 2 C definiert durch E.z; s/ D s .s/

1 2

X m;n2Z .m;n/¤.0;0/

ys : jmz C nj2s

Aus Lemma 1.2.1 folgt, dass die Reihe E.z; s/ lokal gleichmäßig in HfRe.s/ > 1g konvergiert. Damit ist die Eisenstein-Reihe eine in diesem Bereich stetige, für festes z als Funktion in s sogar holomorphe Funktion, da nach dem Satz von Weierstraß eine Funktion holomorph ist, wenn sie der lokal-gleichmäßige Limes von holomorphen Funktionen ist. Es gilt noch mehr, wie wir im folgenden Lemma zeigen. Definition 2.7.2 Eine glatte Funktion ist eine unendlich oft differenzierbare Funktion.

Lemma 2.7.3 Die Eisenstein-Reihe E.z; s/ ist für festes s mit Re.s/ > 2 eine glatte Funktion in z 2 H. Beweis: Wir unterteilen die Summe, die die Eisenstein-Reihe definiert, in eine Summe mit m D 0, eine mit m ¤ 0. Für m D 0 ist die Summe gar nicht von z abhängig, die Behauptung folgt also. Sei log der Hauptzweig des Logarithmus, definiert auf der geschlitzten Ebene C X .1; 0 durch log.rei / D log.r/ C i, falls r > 0 und  <  < ist. Man stellt nun fest, dass für z 2 H und w 2 H, der unteren Halbebene, gilt log.zw/ D log.z/ C log.w/ : Ist m ¤ 0 und z 2 H, so ist eine der beiden Zahlen mz C n, mzN C n in H, die andere in H. Also folgt N N jmz C nj2s D es log..mzCn/.mzCn// D es log.mzCn/ es log.mzCn/ :

Wir schreiben log.mz C n/ D log.jmz C nj/ C i für ein jj < . Es gilt dann Re.s log.mz C n// D  Re.s/ log.jmz C nj/ C Im.s/   Re.s/ log.jmz C nj/ C j Im.s/j :

2 Modulformen für SL2 .Z/

54

Also folgt ˇ ˇ ˇ s log.mzCn/ ˇ ˇ D eRe.s log.mzCn//  ej Im.s/j jmz C nj Re.s/ : ˇe Wir definieren für z 2 H und w 2 H, F .z; w; s/ D s .s/y s

1 2

X

es log.mzCn/ es log.mwCn/

m;n2Z .m;n/¤.0;0/

wir halten w fest und schätzen das Glied der Reihe F .z; w; s/ wie folgt ab jes log.mzCn/ es log.mwCn/ j  Ce2j Im.s/j jmz C nj Re.s/ ; mit einer Konstante C > 0, die von w abhängt. Lemma 1.2.1 zeigt, dass die Reihe F .z; w; s/ bei festem w und festem s mit Re.s/ > 2 lokal-gleichmäßig in z konvergiert. Die Summanden sind holomorph und daher ist F .z; w; s/ eine holomorphe Funktion in z. Das gleiche Argument zeigt die Holomorphie in w bei festem z. Nach Aufgabe 2.21 ist F .z; w; s/ lokal in z und w in simultane Potenzreihen entwickelbar, dies bedeutet, dass F .z; w; s/ bei festem s mit Re.s/ > 2 eine glatte Funktion in .z; w/ ist. Daher ist auch F .z; z; s/ D E.z; s/ eine glatte Funktion.  Lemma 2.7.4  Sei  D SL2 .Z/ und sei 1 die Stabilisatorgruppe von 1, also 1 D ˙ 1 Z1 . Dann ist die Abbildung 1 n ! f˙.x; y/ 2 Z2 = ˙ 1 W x; y teilerfremdg   1 ac db 7! ˙.c; d / eine Bijektion. Beweis: Wir machen eine Anleihe aus der elementaren Zahlentheorie: Sind c; d 2 Z teilerfremd, so existieren a; b 2 Z so dass ad  bc D 1. Ist .a; b/ ein solches Tupel, dann ist jedes weitere von der Form .a C cx; b C dx/ für ein x 2 Z. (Beweisidee: Nimm an, dass 1 < c  d gilt. Nach der Division mit Rest gibt es 0  r < c mit d D r C cq. Dividiere dann c mit Rest durch r und so fort. Dieser Algorithmus muss abbrechen.   Rückwärtseinsetzen  der Ergebnisse liefert eine Lösung .a; b/.)  Ist nun 1 x1 2 1 und ac db 2 , so gilt  1

x 1

 a c

Hieraus folgt das Lemma.

b d



 a C cx D c

b C dx : d 

Definition 2.7.5 Eine automorphe Funktion auf H bezüglich der Kongruenzgruppe   SL2 .Z/ ist eine Funktion W H ! C, die invariant ist unter der Operation von , also die .z/ D .z/ erfüllt für jedes  2 .

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

55

P

Q s/ D Proposition 2.7.6 (a) Sei E.z; für Re.s/ > 1 und es gilt

 W1 n

Im.z/s , so konvergiert die Reihe

Q s/ ; E.z; s/ D s .s/ .2s/E.z; wobei .s/ die Riemannsche Zetafunktion ist. Q s/ sind automorph unter  D SL2 .Z/, d. h., (b) Die Funktionen E.z; s/ und E.z; es gilt E.z; s/ D E.z; s/ Q für jedes  2  und ebenso für E. Beweis: (a) Für  D folgt



 c d



gilt Im.z/ D Im.z/=jcz C d j2 . Nach Lemma 2.7.4 X

Q s/ D E.z;

.c;d /D1 mod ˙1

ys ; jcz C d j2s

damit folgt die Konvergenz mit E.z; s/ als Majorante. Ferner folgt Q s/ D

.2s/E.z;

1 X X nD1 .c;d /D1 mod ˙1

ys 1 D jncz C nd j2s 2

X m;n2Z .m;n/¤.0;0/

ys : jmz C nj2s

(b) Es reicht, die Behauptung für EQ zu beweisen. Wir rechnen X X Q Im.z/s D Im.z/s : E.z; s/ D W1 n

W1 n



Insbesondere folgt E.z C 1; s/ D E.z; s/ : Für Re.s/ > 2 besitzt die glatte Funktion E.z; s/ also eine Fourier-Entwicklung in z. Wir untersuchen nun diese Fourier-Entwicklung. Sei y > 0 dann konvergiert das folgende Integral lokal-gleichmäßig absolut in s 2 C: 1 Ks .y/ D 2

Z1

ey.t Ct

1 /=2

ts

dt : t

0

Die so definierte Funktion heißt K-Besselfunktion. Diese Funktion genügt der Abschätzung jKs .y/j  ey=2 KRe.s/ .2/; falls y > 4 : Beweis: Für reelle Zahlen a; b gilt 

ab > 2a ) ab > a C b : a>b>2 ) 2a > a C b

2 Modulformen für SL2 .Z/

56

Die letzte Aussage ist symmetrisch in a; b, sie gilt also für alle a; b > 2. Also folgt eab < ea eb . Wir wenden dies auf a D y=2 > 2 und b D t C t 1 an und integrieren nach t: Z1 dt 1 1 jKs .y/j  ey=2 e.t Ct / t Re.s/ D ey=2 KRe.s/ .2/ : 2 t 0

Der Integrand im Bessel-Integral ist invariant unter t 7! t 1 , s 7! s, so dass Ks .y/ D Ks .y/ :

Satz 2.7.7 Die Eisenstein-Reihe E.z; s/ besitzt eine Fourier-Entwicklung: 1 X

E.z; s/ D

ar .y; s/e2 i rx ;

rD1

wobei a0 .y; s/ D s .s/ .2s/y s C s1 .1  s/ .2  2s/y 1s und für r ¤ 0, p ar .y; s/ D 2jrj21=2 12s .jrj/ yKs 1 .2 jrjy/ : 2

Es folgt, dass die Eisenstein-Reihe E.z; s/ eine meromorphe Fortsetzung nach ganz C besitzt. Sie ist holomorph bis auf einfache Pole in s D 0; 1. Das Residuum in s D 1 ist die konstante Funktion mit dem Wert 1=2. Die Eisenstein-Reihe erfüllt die Funktionalgleichung E.z; s/ D E.z; 1  s/ : Lokal gleichmäßig in x 2 R gilt E.x C iy/ D O.y /;

für y ! 1 ;

wobei  D max.Re.s/; 1  Re.s//.

Beweis: Die behaupteten Eigenschaften folgen leicht aus der expliziten FourierEntwicklung. Diese gilt es also zu beweisen. Definition 2.7.8 Eine Funktion f W R ! C heißt Schwartz-Funktion, falls f unendlich oft differenzierbar ist und jede Ableitung f .k/ , k  0 schnell fallend ist. Sei S.R/ der Vektorraum der Schwartz-Funktionen auf R.

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

 y s

und r 2 R gilt

1 2

Lemma 2.7.9 Für Re.s/ >

(

Z

2 s 2 i rx

.x C y / e 2

.s/

57

dx D

R

sC1=2 .s  12 /y 1s ; r D 0I s1=2 p yKs1=2 .2 jrjy/; r ¤ 0 : 2jrj

Beweis: Durch Einsetzen des -Integrals wird die linke Seite: Z Z1 e R

t



ty 2 .x C y 2 /

s e

2 i rx dt

t

Z1 Z dx D

0

0

e t .x

2 Cy 2 /=y

t s e2 i rx dx

R

dt ; t

wobei wir die Substitution t 7! t.x 2 C y 2 /=y ausgeführt haben. Die Funktion 2 f .x/ D ex ist ihre eigene Fourier-Transformierte: fO D f , denn f ist die bis auf skalare Vielfache eindeutige Lösung der Differentialgleichung f 0 .x/ D 2 xf .x/ : Durch eine vollständige Induktion beweist man, dass es für jede natürliche Zahl n 2 ein Polynom pn .x/ gibt mit f .n/ .x/ D pn .x/ex . Damit liegt f im SchwartzRaum S.R/, also liegt fO ebenfalls in S und man kann rechnen Z Z 2 2 .2 ix/ex e2xy dx D i .ex /0 e2 ixy dx .fO/0 .y/ D R

R

D 2 y fO.y/ : O O Damit folgt fO D cf und fO D c fO D c 2 f . Da andererseits fO.x/ D f .x/ D f .x/, R x 2 2 folgt c D 1, also c D ˙1. Wegen fO.0/ D R e dx > 0 folgt c D 1. Durch eine einfache Substitution erhält man hieraus r Z y y r 2 =t t x 2 =y 2 i rx e e dx D : e t R

Hiermit sehen wir, dass die linke Seite des Lemmas gleich r

Z1 e

 ty

y y r 2 =t s dt e t t t

0



ist, was die Behauptung liefert. Wir berechnen nun die Fourier-Entwicklung der Eisenstein-Reihe E.z; s/ D

1 X rD1

ar .y; s/e2 i rx ;

2 Modulformen für SL2 .Z/

58

mit Z1 ar .y; s/ D

E.x C iy; s/e2 i rx dx

0

D

s

1 .s/ 2

Z1

X m;n2Z .m;n/¤.0;0/

0

ys e2 i rx dx : jmx C i my C nj2s

Die Summanden mit m D 0 liefern nur einen Beitrag wenn r D 0. Dann ist dieser Beitrag 1 X n2s D s .s/ .2s/y s : s .s/y s nD1

Für m ¤ 0 beachte, dass der Beitrag von .m; n/ und der von .m; n/ gleich sind. Wir summieren daher nur über m > 0. Der Beitrag zu ar ist dann

s

.s/y

s

1 1 Z1 X X

.mx C n/2 C m2 y 2

s

e2 i rx dx

mD1 nD1 0

D

s

.s/y

s

1 X

Z1

X



.mx C n/2 C m2 y 2

s

e2 i rx dx :

mD1 n mod m 1

Wir substituieren x 7! x  n=m und erhalten

s

.s/y

s

1 X

m

mD1

Wegen

X

2s

Z1 e

2 i rn=m

n mod m

X

.x 2 C y 2 /s e2 i rx dx :

1

e2 i rn=m

n mod m

( m mjr ; D 0 sonst.

ist der Beitrag

s

.s/y

s

X mjr

Z1 m

12s

.x 2 C y 2 /s e2 i rx dx :

1

Es gibt zwei Fälle. Im ersten ist r D 0. Dann ist die Bedingung mjr leer und wir haben  Z1 1 s s 2 2 s sC1=2

.2s  1/y 1s ; .x C y / dx D  s .s/y .2s  1/ 2 1

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

59

wobei wir Lemma 2.7.9 benutzt haben. Die Riemannsche Zetafunktion erfüllt die Funktionalgleichung Q Q  s/ ;

.s/ D .1 Q wobei .s/ D s=2 .s=2/ .s/, wie in Satz 6.1.2 bewiesen wird. Dies liefert den behaupteten nullten Term a0 . Im Fall r ¤ 0 liefert ebenfalls Lemma 2.7.9 die Behauptung.  Wir kommen nun zur Rankin-Selberg-Methode. Sei  D SL2 .Z/ und sei W H ! C eine glatte -automorphe Funktion. Wir nehmen an, dass in der Spitze 1 schnell fällt, d. h., dass gilt .x C iy/ D O.y N /;

y1

für jedes N 2 N. Wegen .z C 1/ D .z/ hat eine Fourier-Entwicklung .z/ D

1 X

n .y/ e2 i nx

nD1

R1

mit n .y/ D 0 .x C iy/ e2 i nx dx. Die Funktion 0 heißt der konstante Term der Fourier-Entwicklung. Sei Z1 M 0 .s/ D

0 .y/y s

dy y

0

die Mellin-Transformierte des nullten Terms. Wir werden zeigen, dass dieses Integral für Re.s/ > 0 konvergiert. Wir setzen ƒ.s/ D s .s/ .2s/M 0 .s  1/: Proposition 2.7.10 (Rankin-Selberg Methode) Das Mellin-Integral M 0 .s/ konvergiert lokal-gleichmäßig absolut im Bereich Re.s/ > 0. Es gilt Z dx dy E.z; s/ .z/ 2 : ƒ.s/ D y .1/nH

Die Funktion ƒ.s/ dehnt sich zu einer meromorphen Funktion auf C mit höchstens einfachen Polen bei s D 0 und s D 1 aus. Sie erfüllt die Funktionalgleichung ƒ.s/ D ƒ.1  s/ : Schließlich gilt 1 ressD1 ƒ.s/ D 2

Z .z/ .1/nH

dx dy : y2

2 Modulformen für SL2 .Z/

60

Beweis: Wir führen den Beweis durch den Auffaltungstrick wie folgt: Z X Z Q E.z; s/ .z/ d .z/ D Im.z/s .z/ d .z/ D  W1 n

nH

X Z

D

Im.z/s .z/ d .z/

 W1 n D

X Z

D

Im.z/s .z/ d .z/

 W1 nD

Z

D

Im.z/s .z/ d .z/ S

 W1 n

D

Z1 Z1

Z Im.z/ .z/ d .z/ D

D

y s1 .x C iy/dx

s

1 nH

Z1 0 .y/y s1

D

0

dy y

0

dy D M 0 .s  1/ : y

0



Die Behauptungen folgen damit aus Satz 2.7.7.

Wir wenden die Rankin-Selberg-Methode nun an um die Meromorphie der Rankin-Selberg-Faltung von modularen L-Funktionen zu beweisen. Sei k 2 2N0 und seien f; g 2 Mk normalisierte Hecke-Eigenformen. Seien an und bn für n  0 die Fourier-Koeffizienten von f und g. Wir definieren die Rankin-Selberg-Faltung von L.f; s/ und L.g; s/ als 1 X L.f  g; s/ def an bn ns :

.2s  2k C 2/ D nD1

Nach Proposition 2.3.1 und Satz 2.3.2 gilt an ; bn D O.nk1 /. Damit konvergiert die Reihe L.f  g; s/ absolut für Re.s/ > 2k  1. Wir setzen ferner ƒ.f  g; s/ D .2 /2s .s/.s  k C 1/L.f  g; s/ :

Satz 2.7.11 Ist eine der beiden Funktionen f; g eine Spitzenform, dann setzt ƒ.f  g; s/ fort zu einer meromorphen Funktion auf C. Sie ist holomorph bis auf mögliche einfache Pole in s D k und s D k  1. Sie genügt der Funktionalgleichung: ƒ.f  g; s/ D ƒ.f  g; 2k  1  s/ : Das Residuum bei s D k ist 12 1k hf; gik .

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

61

Beweis: Wir wenden Proposition 2.7.10 auf die Funktion .z/ D f .z/g.z/y k an. Es gilt dann Z1 f .x C iy/g.x C iy/y k dx

0 .y/ D 0

D

1 Z 1 X X

1

an e2 i nx e2 ny bm e2 i mx e2 my y k dx :

nD0 mD0 0

R1 P1 4 ny k y : Da 0 e2 i.nm/x dx D 0 außer wenn n D m, folgt 0 .y/ D nD1 an bn e Also M 0 .s/ D

1 X nD0

Z1 an bn

e4 ny y sCk

0

1 X dy an bn nsk : D .4 /sk .s C k/ y nD1

Die Zahl bn ist der Eigenwert des Hecke-Operators Tn . Da Tn selbstadjungiert ist, ist bn reell. Damit ist M 0 .s  1/ D .4 /skC1 .s  1 C k/

1 L.f  g; s  1 C k/ :

.2s/

Sei ƒ.s/ wie in Proposition 2.7.10. Dann folgt ƒ.s/ D 4skC1 2skC1 .s/.s  1 C k/L.f  g; s  1 C k/ ; oder ƒ.s C 1  k/ D k1 .2 /2s .s/.s C 1  k/L.f  g; s/ D k1 ƒ.f  g; s/ : Nach Proposition 2.7.10 gilt ƒ.s C 1  k/ D ƒ.1  .s C 1  k// und damit erhält man die behauptete Funktionalgleichung. Schließlich gilt ressDk ƒ.f  g; s/ D ressDk 1k ƒ.s C 1  k/ D 1k ressD1 ƒ.s/ D

1k 1

Z .z/ d .z/ D 1k

2

1 hf; gik : 2

.1/nH



Wir betrachten noch das Euler-Produkt der Rankin-Selberg L-Funktion L.f  g; s/. Wir faktorisieren die Polynome 1  an X C p k1 X 2 D .1  ˛1 .p/X /.1  ˛2 .p/X / 1  bn X C p k1 X 2 D .1  ˇ1 .p/X /.1  ˇ2 .p/X /

2 Modulformen für SL2 .Z/

62

Satz 2.7.12 Wir haben die Euler-Produktentwicklung L.f  g; s/ D

2 2 Y YY

.1  ˛i .p/ˇj .p/p s /1 :

p i D1 j D1

Beweis: Dies ist eine Konsequenz des folgenden algebraischen Lemmas. Lemma 2.7.13 Ist ˛1 ˛2 ˇ1 ˇ2 ¤ 0 und gilt 1 X rD0 1 X

ar x r D .1  ˛1 x/1 .1  ˛2 x/1 ; br x r D .1  ˇ1 x/1 .1  ˇ2 x/1 ;

rD0

dann folgt 1 X

ar br x r D .1  ˛1 ˛2 ˇ1 ˇ2 x 2 /

2 2 Y Y

.1  ˛i ˇj x/1 :

i D1 j D1

rD0

Beweis: Sei .x/ D gral

P1 rD0

.x/ D

ar x r und 1 2 i

Z

P1 rD0

.qx/ .q 1 /

br x r . Betrachte das Weginte-

dq ; q

@K

wobei K ein Kreis um Null ist so dass die Pole von .xq/ außerhalb liegen, die von .q 1 / innerhalb. Dies ist für hinreichend kleines x möglich. Das Integral ist gleich 1 X r;r 0 D0

ar br 0 x r

1 2 i

Z q rr

0 1

dq D

1 X

ar br x r :

rD0

@K

Andererseits ist das Integral gleich Z dq 1 1 : 1 1 2 i .1  ˛1 xq/.1  ˛2 xq/.1  ˇ1 q /.1  ˇ2 q / q @K

Per Residuensatz berechnet sich dies zu .1  ˛1 ˛2 ˇ1 ˇ2 x 2 /

2 Y 2 Y

.1  ˛i ˇj x/1 :

i D1 j D1



2.8 Maaßsche Wellenformen

63

2.8 Maaßsche Wellenformen Die Gruppe G D SL2 .R/ operiert auf H durch Diffeomorphismen, also operiert sie auf C 1 .H/ durch Lg W C 1 .H/ ! C 1 .H/, wobei für g 2 G der Operator Lg definiert ist durch Lg '.z/ D '.g1 z/ : Auf der oberen Halbebene H betrachten wir den hyperbolischen Laplace-Operator definiert durch  2 @ @2 2  D y C 2 : @x 2 @y Lemma 2.8.1 Der hyperbolische Laplace ist invariant unter G in dem Sinne, dass Lg Lg 1 D  für jedes g 2 G gilt. Beweis: Die Aussage ist äquivalent zu Lg  D Lg . Es reicht, diese Aussage für Erzeuger von SL2 .R/, wie etwa in Aufgabe 2.7 angegeben, nachzurechnen. Wir überlassen den Nachweis dem Leser zur Übung (Aufgabe 2.8).  Definition 2.8.2 Eine Maaßsche Wellenform oder Maaß-Form zur Gruppe .1/ ist eine glatte Funktion f auf H so dass • f .z/ D f .z/ für jedes  2 , • f D f für ein  2 C, • es gibt ein N 2 N mit f .x C iy/ D O.y N / für y  1. Gilt darüberhinaus

Z1 f .z C t/ dt D 0 0

für jedes z 2 H, dann heißt f eine Maaß-Spitzenform.

Proposition 2.8.3 Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe E.z; s/ D s .s/

1 2

X m;n2Z .m;n/¤.0;0/

ys jmz C nj2s

ist eine Maaß-Form, genauer gilt E.z; s/ D s.1  s/E.z; s/ :

2 Modulformen für SL2 .Z/

64

Beweis: Wir müssen nur die Eigengleichung zeigen. Es gilt Q s/ E.z; s/ D s .s/ .2s/E.z; Q s/ D mit E.z; zeigen. Es gilt

P 1 n

Im.z/s : Daher reicht es, die Eigengleichung für EQ zu 

.y s / D y 2

@2 @2 C @x 2 @y 2

y s D s.1  s/y s :

Wegen der Invarianz des Laplace-Operators folgt  Im.z/s D s.1  s/ Im.z/s P @ für jedes  2 . Für Re.s/ > 3 konvergieren die Reihen 1 n @y Im.z/s P 2 @ s und 1 n @y 2 Im.z/ lokal gleichmäßig, also dürfen wir unter dem Summenzeichen differenzieren, was die Behauptung für EQ und damit auch für E im Bereich Re.s/ > 3 zeigt. Für beliebiges s 2 C zeigt die Fourier-Entwicklung von E, dass E.z; s/s.1s/E.z; s/ eine meromorphe Funktion in s ist, die nach obigem konstant Null ist für Re.s/ > 3. Nach dem Identitätssatz ist sie überall gleich Null.  Man drückt die Differentialgleichung auch so aus:    1 1 1 2 D :   E z;  C E z;  C 2 4 2 Sei nun f eine beliebige Maaß-Form für die Gruppe .1/. Wegen f .z C 1/ D f .z/ hat f eine Fourier-Entwicklung 1 X

f .x C iy/ D

ar .y/e2 i rx :

rD1

Lemma 2.8.4 Sei  2 C der Laplace-Eigenwert der Maaß-Form f . Dann gibt es ein (bis aufs Vorzeichen eindeutiges)  2 C mit  D 14   2 . Für die FourierKoeffizienten gilt dann ar .y/ D ar

p

yK .2 jrjy/

falls r ¤ 0, wobei ar 2 C nur von r abhängt. Ferner ist für r D 0, 1

1

a0 .y/ D a0 y 2  C b0 y 2 C : Beweis: Wir haben f D . 14   2 /f .z/. Aus der Definition von ar .y/, Z1 ar .y/ D 0

f .x C iy/e2 i rx dx

2.8 Maaßsche Wellenformen

65

folgt dann 

Z1 1 2   ar .y/ D f .x C iy/e2 i rx dx 4 0

Z1 D y

2

@2 f @2 f C .x C iy/e2 i rx dx 2 @y @x 2

0

@2 ar .y/  y 2 D y @y 2

Z1

2

f .x C iy/.4 2 r 2 /e2 i rx dx

0

D y 2

2

@ ar .y/ C 4 2 r 2 y 2 ar .y/ : @y 2

Wir haben also die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung  @2 1   2  4 r 2 y 2 ar .y/ D 0 : y 2 2 ar .y/ C @y 4 Da der r-te Fourier-Koeffizient der Eisenstein-Reihe eine Lösung dieser DGL ist, wissen wir, dass p ar .y/ D yK .2 jrjy/ eine Lösung dieser linearen DGL ist. Eine zweite Lösung ist gegeben durch br .y/ D

p

yI .2 jrjy/ ;

wobei I die I -Besselfunktion ist. Jede Lösung ist eine Linearkombination dieser zwei Basislösungen. Einen Beweis für dieses klassische Faktum aus der Theorie der DGL findet man etwa in [10]. Weiter wächst die I-Besselfunktion exponentiell, wohingegen die K-Besselfunktion exponentiell fällt. Da ar .y/ nach Voraussetzung nur moderat wachsen kann, folgt die Behauptung.  Sei  W H ! H die antiholomorphe Abbildung .z/ D z, also .x Ciy/ D x C iy. Dann gilt ı  D IdH und man rechnet leicht nach, dass  mit dem hyperbolischen Laplace Operator  kommutiert, wobei  auf Funktionen f der oberen Halbebene via .f /.z/ def D f ..z// operiert. Daher bildet  für jedes  2 C den Eigenraum Eig.; / in sich ab. Wegen 2 D Id hat  höchstens die Eigenwerte ˙1. Eine MaaßForm f heißt gerade Maaß-Form, falls .f / D f und ungerade Maaß-Form, falls .f / D f . Wegen f D

1 1 .f C .f // C .f  .f // 2 2

ist jede Maaß-Form die Summe aus einer geraden und einer ungeraden.

2 Modulformen für SL2 .Z/

66

Satz 2.8.5 Sei f .z/ D

X

ar

p yK .2 jrjy/e2 i rx

r¤0

eine Maaß-Spitzenform. Sei 1 X

L.s; f / D

an ns

nD1

die zugehörige L-Funktion. Dann konvergiert die Reihe L.s; f / für Re.s/ > 3=2 und kann zu einer ganzen Funktion auf C fortgesetzt werden. Ist f gerade oder ungerade und sei f D . 14   2 /f , dann gilt mit   sC" sC"C s  L.s; f / ; ƒ.s; f / D  2 2 wobei " D 0 falls f gerade und " D 1 falls f ungerade, die Funktionalgleichung ƒ.s; f / D .1/" ƒ.1  s; f / :

Beweis: Beachte, dass wir ar D .1/" ar haben. Die Konvergenz folgt sofort aus dem Lemma 2.8.6 Es gilt an D O.n1=2 /. Beweis: Es gibt C; N > 0 so dass für y > 1 die Ungleichung jf .x C iy/j  Cy N gilt. Ist y < 1=2, und ist w 2 D konjugiert zu z modulo .1/, so folgt Im.w/  y1 . Ist also y < 1=2, so folgt jf .x C iy/j  Cy N . Also folgt für y < 1=2 Z1

p

jf .x C iy/j dx  Cy N :

jar j yjKs .2 jrjy/j  0

Für y D 1=jrj folgt daraus jar j  C r N C 2 jKs .2 /j1 : 1

Da die K-Besselfunktion schnell fällt und f eine Spitzenform ist, folgt daraus, dass f beschränkt ist auf D und damit auf H. Man kann also dasselbe Argument mit N D 0 wiederholen. Dies ist die Behauptung.  Lemma 2.8.7 Das Integral Z1 K .y/y

s dy

y

 D 2

s2



0

konvergiert absolut falls Re.s/ > j Re./j.

sC 2



s    2

2.8 Maaßsche Wellenformen

67

Beweis: Setzt man die Definition von K ein, so ist die linke Seite 1 2

Z1Z1 0

e.t Ct

1 /y=2

t  ys

dy dt : y t

0

Wir wenden die Transformationsformel auf den Diffeomorphismus W .0; 1/  .0; 1/ ! .0; 1/  .0; 1/ gegeben durch 

1 1 ty; t 1 y D .u; v/ 2 2 p p an. Es gilt dann y D 2 uv und t D u=v. Die Funktionalmatrix von ist .t; y/ D

 1 y y 2  t2

D .t; y/ D Diese hat die Determinante det D D onsformel gleich Z1 Z1 2

s1 0

y . 2t

t



1 t

:

Das Integral ist nach der Transformati-

euv v .s/=2 u.sC/=2

du dv : u v

0



Dies liefert die Behauptung.

Wir beweisen nun den Satz. Betrachte zuerst den Fall, wenn f gerade ist. Dann ist Z1 f .iy/y s1=2

dy 1 D ƒ.s; f / : y 2

0

Mit Lemma 2.8.6 folgt, dass f .iy/ schnell fällt für y ! 1. Wegen f .iy/ D f .i y1 / folgt mit dem üblichen Trick die Behauptung. Ist f ungerade, so setze g.z/ D Dann ist

1 X 1 @f p an n yK .2 ny/ cos.2 nx/ : .z/ D 4 i @x nD1

Z1 g.iy/y sC1=2

dy D ƒ.s; f / : y

0

Wegen g.iy/ D

 y12 g. yi /

folgt die Behauptung auch in diesem Fall.



2 Modulformen für SL2 .Z/

68

Wir führen allgemeiner für jedes k 2 Z den Operator  2 @ @ @2 C i ky k D y 2 C 2 2 @x @y @x ein. Es gilt k

k D LkC2 Rk  2

  k k k 1C D Rk2 Lk C 1 ; 2 2 2

wobei Rk D iy

@ k @ Cy C ; @x @y 2

Lk D iy

Definition 2.8.8 Für f 2 C 1 .H/ und g D  f jjk g.z/ D

cz C d jcz C d j



 c d



2 G D SL2 .R/ sei 

k f .gz/ D

@ k @ Cy  : @x @y 2

cz C d jcz C d j

k f .gz/ :

Lemma 2.8.9 Für f 2 C 1 .H/ und g 2 G D SL2 .R/ gilt .Rk f /jjkC2 g D Rk .f jjk g/;

.Lk f /jjk2 g D Lk .f jjk g/

und .k f /jjk g D k .f jjk g/ : Beweis: Die ersten beiden Identitäten kann man explizit nachrechnen, die dritte folgt. Alternativ kann man bis zum nächsten Abschnitt warten, wo ein Lietheoretischer Beweis der ersten beiden Aussagen geliefert wird.  Differentialoperatoren leben auf unendlich-dimensionalen Räumen wie etwa C 1 .R/. Unglücklicherweise sind dies keine Hilbert-Räume, aber man kann Differentialoperatoren auf dichten Teilräumen von Hilbert-Räumen erklären. Definition 2.8.10 Sei H ein Hilbert-Raum. Ein Operator auf H ist ein Paar .DT ; T /, wobei DT  H ein dichter Untervektorraum von H und T W DT ! H eine lineare Abbildung ist. Der Raum DT heißt der Definitionsbereich des Operators. Der Operator heißt abgeschlossener Operator, falls der Graph G.T / D f.h; T .h// W h 2 DT g eine abgeschlossene Teilmenge von H  H ist. Ein Operator T heißt symmetrisch, falls hT .v/; wi D hv; T .w/i für alle v; w 2 DT gilt. Sei T ein Operator auf H . Wir definieren den adjungierten Operator T  wie folgt. Zunächst sei der Definitionsbereich DT  gleich der Menge aller v 2 H für die die Abbildung w 7! hT w; vi eine beschränkte lineare Abbildung auf DT ist.

2.8 Maaßsche Wellenformen

69

Da DT dicht ist, lässt sich diese Abbildung in eindeutiger Weise zu einem stetigen linearen Funktional nach H fortsetzen. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert dann ein eindeutig bestimmter Vektor T  v 2 H , so dass hT w; vi D hw; T  vi für jedes w 2 DT gilt. Man sieht leicht, dass die so entstehende Abbildung T  W DT  ! H linear ist. Falls DT  dicht ist, so zeigt man, dass der Operator T  abgeschlossen ist. Ein Operator T heißt selbstadjungiert, falls DT  D DT und T  D T gilt. Es gilt T selbstadjungiert ) T abgeschlossen und symmetrisch ; aber die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Beispiel zeigt. Beispiel 2.8.11 Sei H D L2 .Œ0; 1/ ˝ Menge ˛aller stetigen FunktioR xund sei DT die nen f auf Œ0; 1 der Form f .x/ D 0 f 0 .t/ dt D f 0 ; 1Œ0;x für ein f 0 2 L2 .0; 1/ mit f 0 ? 1Œ0;1 . Für jedes f 2 DT gilt f .0/ D 0 D f .1/. Sei T der Operator gegeben durch T .f / D f 0 : Da C.Œ0; 1/ dicht liegt in H , gibt es zu jedem f 2 DT eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen fj mit fj ! f und Tfj ! Tf . Daher folgt mit Hilfe von partieller Integration hTf; gi D hf; T gi für alle f; g 2 DT . Damit ist T symmetrisch. T ist außerdem abgeschlossen, denn für eine Folge fj 2 DT mit fj ! f und Tfj ! g folgt f 2 DT und g D Tf . Nun bleibt zu zeigen, dass T  ¤ T . Dies ist aber klar, da zum Beispiel die konstante Funktion 1 in DT  liegt, aber nicht in DT . Außerdem folgt, dass T  nicht symmetrisch ist. Ist H endlich-dimensional, so ist jeder Operator T schon auf ganz H definiert, da der einzige dichte Unterraum von H gleich ganz H ist, d. h. es gilt DT D H . Eine Erinnerung aus der Linearen Algebra: Satz 2.8.12 (Spektralsatz) Es sei H ein endlich-dimensionaler Hilbert-Raum und T W H ! H selbstadjungiert. Dann ist H eine direkte Summe von Eigenräumen, d. h.: M V D Eig.T; / ; 2R

wobei Eig.T; / D fv 2 H W T .v/ D vg : Dieser Satz wird in der Linearen Algebra bewiesen. Falls H unendlich-dimensional ist, gilt für selbstadjungierte Operatoren ebenfalls ein Spektralsatz, der den Raum in Eigenräume zerlegt. Allerdings nicht in Form einer direkten Summe, sondern in Form eines Integrals. Wir werden zu einem späteren Zeitpunkt hierauf zurückkommen.

2 Modulformen für SL2 .Z/

70

Definition 2.8.13 Der Träger einer Funktion f W X ! C auf einem topologischen Raum X ist der Abschluss der Menge fx 2 X W f .x/ ¤ 0g. Die Menge Cc .X / ist die Menge aller stetiger Funktionen auf X mit kompaktem Träger. R Sei L2 .H/ der Raum aller messbaren f W H ! C mit H jf .z/j2 d .z/ < 1 modulo des Unterraums der Nullfunktionen, wobei das invariante Maß dxydy ist. 2 1 Dann ist der Raum D D Cc .H/ ein dichter Teilraum, auf dem der Operator k definiert ist. Hierbei ist Cc1 .H/ die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf H mit kompaktem Träger. Proposition 2.8.14 Der Operator k mit Definitionsbereich Cc1 .H/ ist ein symmetrischer Operator auf H D L2 .H/. Beweis: Sei e D

@2 @2 C 2 2 @x @y

der euklidische Laplace-Operator. Sei d das äußere Differential, das n-Formen auf .nC1/-Formen abbildet. Seien f; g glatte Funktionen mit kompakten Trägern auf H. Man rechnet leicht nach, dass    @f @g @g @f dy  dx  f dy  dx D .ge f  f e g/ dx ^ dy : d g @x @y @x @y Nach Stokes’ Integralsatz gilt also Z .ge f  f e g/ dx ^ dy D 0 ; H

Z

Z

also

ge f dx ^ dy D H

Sei nun T D

i @ . y @x

H

Dann erhält man durch partielle Integration

Z

Z ..Tf /g  f .T g// dx ^ dy D i

H

H

Z Di H

Also

f e g dx ^ dy :

Z

1 y 

1 d f gdy y



! dx ^ dy Z

D @

Z .Tf /g dx ^ dy D

H

@f @g gCf @x @x

f .T g/ dx ^ dy : H

1 f gdy D 0 : y

2.8 Maaßsche Wellenformen

Es ist nun

Z

hk f; gi D H

71

dx ^ dy .k f /g D y2

Z .e f C kTf /g dx ^ dy : H



Damit ist k symmetrisch.

Sei nun  eine diskrete Untergruppe von SL2 .R/. Wegen der Invarianz operiert k auf der Menge der glatten Funktionen f auf H, für die gilt f jjk  D f für jedes  2 . Sei C 1 .nH; k/ der Vektorraum dieser Funktionen und sei L2 .nH; k/ der Raum aller messbaren Funktionen f auf H mit f jjk  D f für jedes  2  und Z dx dy 2 def jf .z/j2 2 < 1 ; jjf jj D y nH

modulo solchen Funktionen mit jjf jj D 0. Man beachte, dass das Integral wohldefiniert ist, da die Funktion jf .z/j2 unter  invariant ist, also eine Funktion auf nH definiert. Dann ist L2 .nH; k/ ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt Z dx ^ dy f .z/g.z/ : hf; gi D y2 nH

Ab jetzt betrachten wir den Fall, dass nH kompakt ist. Dies ist äquivalent dazu, dass nSL2 .R/ kompakt ist. Man nennt solche Gruppen daher auch cokompakte Untergruppen von SL2 .R/. Untergruppen von SL2 .Z/ sind nicht cokompakt, da sonst SL2 .Z/ selbst schon cokompakt sein müsste. Wieso also gibt es überhaupt cokompakte Gruppen ? Hierzu folgende Überlegungen, die nur Tatsachen aus der Funktionentheorie und etwas Topologie verwenden. • Zunächst ein konkretes Beispiel. Seien 0 < p; q 2 Q. Die Matrizen p  p p q p iD ; j D p  p q erzeugen eine Q-Unteralgebra M von M2 .R/ mit den Relationen i 2 D p; j 2 D q; ij D j i : Aus diesen Relationen folgt, dass die Vektoren 1; i; j; ij eine Basis von M über Q bilden, also ist M vierdimensional. Ein solches M nennt man eine Quaternionenalgebra. Wir verlangen nun zusätzlich, dass p und q Primzahlen sind so dass q kein quadratischer Rest modulo p ist. Unter diesen Umständen kann man zeigen (Übungsaufgabe 2.23), dass M eine Divisionsalgebra ist, also dass jedes 0 ¤ m 2 M invertierbar ist. Die Menge MZ D Z1 ˚ Zi ˚ Zj ˚ Zij

2 Modulformen für SL2 .Z/

72

ist ein Unterring. Sei  D f 2 MZ W det. / D 1g : Man kann zeigen, dass  eine diskrete Untergruppe von SL2 .R/ ist so dass nH kompakt ist. • Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche und g  0 sei ihr Geschlecht. Sei ferner XQ ihre universelle Überlagerung, sowie  die Fundamentalgruppe. Dann operiert  durch biholomorphe Abbildungen auf XQ und es gilt nXQ Š X . Ferner ist XQ eine einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche sein und  operiert fixpunktfrei. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz ergeben sich folgende Möglichkeiten: O die Riemannsche Zahlenkugel, (a) XQ Š P1 .C/ D C (b) XQ Š C, (c) XQ Š H. Im Fall (a) ist jede biholomorphe Abbildung  W XQ ! XQ eine gebrochen lineare azCb und jede solche Transformation hat mindestens Transformation .z/ D czCd O O einen Fixpunkt in C, was bedeutet, dass  D f1g ist und damit X D XQ D C, also g D 0. Fall (b): Die biholomorphen Abbildungen von C sind genau die gebrochen linearen Transformationen  mit .1/ D 1, also .z/ D az C b. Ist a ¤ 1, dann hat  einen Fixpunkt, nämlich z0 D b=.1  a/. Also besteht  nur aus Transformationen der Gestalt .z/ D z C b. Die Menge der b 2 C mit .z 7! z C b/ 2  muss dann ein Gitter sein und damit ist X topologisch isomorph zu R2 =Z2 , also g D 1. Im Fall (c) ist  eine diskrete cokompakte Untergruppe von SL2 .R/= ˙ 1, denn dies ist die Gruppe aller biholomorphen Abbildungen von H. Jedes solche X wie unter (c) liefert also ein  wie wir es brauchen. Das ist zwar noch immer kein Existenzbeweis, man kann aber zeigen, dass es überabzählbar viele solcher  gibt, sogar modulo Konjugation.

Definition 2.8.15 Eine Gruppe  heißt torsionsfrei, falls  keine Elemente endlicher Ordnung enthält. Sei also   SL2 .R/ eine diskrete cokompakte Untergruppe. Man kann zeigen, dass  stets eine torsionsfreie Untergruppe von endlichem Index enthält. Wir schränken uns auf den torsionsfreien Fall ein und verlangen, dass  torsionsfrei ist. @ @ ; @y /. Den BeAuf der Oberen Halbebene H gibt es eine natürliche Orientierung . @x griff einer Orientierung einer Mannigfaltigkeit und den Satz von Stokes findet man zum Beispiel in Forsters Analysis-Buch [11]. Man kann die folgenden Ausführungen allerdings auch ohne diese Kenntnisse verstehen, wenn man etwa die folgende Proposition als Definition der Menge C 1 .nH/ auffasst.

2.8 Maaßsche Wellenformen

73

Proposition 2.8.16 Auf dem topologischen Raum nH gibt es genau eine Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit, so dass die Abbildung H ! nH glatt ist. Es gilt dann C 1 .nH/ D C 1 .H/ : Die natürliche Orientierung auf H induziert eine Orientierung auf nH, so dass nH eine orientierte Mannigfaltigkeit ist. Beweis: Da diese Aussage für unsere Zwecke nicht wirklich wichtig ist, geben wir nur eine Beweisskizze. Aus der Torsionsfreiheit kann man folgern, dass  diskontinuierlich auf H operiert, das heißt, zu jedem z 2 H gibt es eine offene Umgebung U so dass für jedes  2  gilt:  U \ U ¤ ; )  D 1. Hieraus folgt, dass die Projektion p W H ! nH die offene Umgebung U homöomorph auf ihr Bild p.U / abbildet und damit stellt pjU eine Karte dar. Die Gesamtheit dieser Karten liefern einen differenzierbaren Atlas für nH. Die Orientierung von H steigt schließlich zum Quotienten nH ab, da  nur durch orientierungserhaltende Diffeomorphismen operiert.  Da nH eine orientierte Mannigfaltigkeit ist, kann man auch Differentialformen integrieren. Ist ! eine Differentialform auf nH und ist p W H ! nH die kanonische Projektion, dann ist die zurückgezogene Form p  ! eine -invariante Form auf H. Lemma 2.8.17 Sei ! eine 1-Form auf nH. Dann gilt Z d! D 0 : nH

Beweis: Dies folgt aus dem Satz von Stokes, da nH eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand ist, d. h. @.nH/ D ;. Also Z Z Z d! D ! D ! D 0: nH

@.nH/



;

Definition 2.8.18 Sei C 1 .nH; k/ die Menge aller glatten Funktionen f auf H mit f jjk  D f für jedes  2 . Lemma 2.8.19 (a) Ist f 2 C 1 .nH; k/ und g 2 C 1 .nH; k 0 /, dann ist fg 2 C 1 .nH; k C k 0 /. (b) Ist f 2 C 1 .nH; k/, dann ist f 2 C 1 .nH; k/. (c) C 1 .nH; 0/ D C 1 .nH/. 1 Beweis: Eine   glatte  Funktion f auf H liegt genau dann in C .nH; k/, wenn für  jedes  D c d 2  gilt

 f .z/ D

cz C d jcz C d j

k f .z/ :

2 Modulformen für SL2 .Z/

74



Damit folgen die Behauptungen.

Proposition 2.8.20 Der Operator k mit Definitionsbereich C 1 .nH; k/ ist ein symmetrischer Operator auf dem Hilbert-Raum L2 .nH; k/. 

Beweis: Analog zum Beweis von Proposition 2.8.14.

Das Spektralproblem von k : Lässt sich der Hilbert-Raum L2 .nH; k/ in eine Summe von Eigenräumen zerlegen? Wenn dies der Fall ist, sagen wir, dass k ein reines Eigenwertspektrum hat. In diesem Fall lässt sich jedes 2 L2 .nH; k/ schreiben als eine L2 -konvergente Summe X D  ; 2R

mit k  D   . Ist  nicht cokompakt, wird dies nicht gehen, stattdessen erhält man neben einer Summe von Eigenräumen noch ein direktes Integral von Eigenräumen. Dies ist generell richtig für selbstadjungierte Operatoren nach dem entsprechenden Spektralsatz. Ein direktes Integral von Hilbert-Räumen soll hier nicht definiert werden, wir geben nur ein Beispiel für eine solche Spektralzerlegung. 2

@ Beispiel 2.8.21 Sei V der Hilbert-Raum L2 .R/ und sei D D  @x 2 mit Definiti1 onsbereich Cc .R/. Dann ist D symmetrisch und man kann zeigen, dass D eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzt. Der Operator D hat keine Eigenfunktion in L2 .R/. Für y 2 R ist die Funktion ey .x/ D e2 ixy eine Eigenfunktion zum Eigenwert 4 2 y 2 , diese Funktion liegt aber nicht in L2 .R/. Dennoch lässt sich, nach der Theorie der Fourier-Transformation, jedes 2 L2 .R/ schreiben als ein L2 -konvergentes Integral Z O .y/e D y dy : R

2.9 Aufgaben und Anmerkungen   Aufgabe 2.1 Zeige, dass für ac db 2 GL2 .C/ und z 2 C die Ausdrücke az C b und cz C d nicht beide gleichzeitig Null sein können. Aufgabe 2.2 Finde alle  2  D SL2 .Z/, die   (a) mit S D  1 1 kommutieren. (b) mit T D 1 11 kommutieren. (c) mit S T kommutieren. Aufgabe 2.3 Welcher Punkt im Fundamentalbereich D ist -konjugiert zu (a) 6 C 12 i ? ? (b) 8C6i 3C2i

2.9 Aufgaben und Anmerkungen

75

Aufgabe 2.4 (Residuensatz für Kreissegmente) Sei r0 > 0 und sei f eine holomorphe Funktion auf der Menge fz 2 C W 0 < jzj < r0 g die in z D 0 einen einfachen Pol hat. Seien a; b W Œ0; r0 / ! . ; / stetige Funktionen mit ar  br für jedes 0  r < r0 und für 0 < r < r0 sei r W .a.r/; b.r// ! C das Kreissegment r .t/ D rei t . Zeige: Z b.0/  a.0/ 1 f .z/ dz D reszD0 f .z/ lim r!0 2 i 2 r

Aufgabe 2.5   D SL2 .Z/ und sei N 2 N. Zeige: die Menge 0 .N / aller  Sei Matrizen ac db 2  mit c  0 mod N ist eine Untergruppe von . (Hinweis: Betrachte die Reduktionsabbildung SL2 .Z/ ! SL2 .Z=N Z/.) Aufgabe 2.6 (Bruhat-Zerlegung) Sei G D SL2 .R/ und sei B die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Zeige   G D B [ BSB; S D 1 1 ; wobei die Vereinigung disjunkt ist. Aufgabe SL2 .R/ erzeugt wird von  2.7 Zeige, dass die  Gruppe    den Elementen der Form a 1=a mit a 2 R , 1 x1 mit x 2 R und S D 1 1 . Aufgabe 2.8 Führe den Beweis von Lemma 2.8.1 aus. Aufgabe 2.9 Zeige, dass das Maß SL2 .R/.

dx dy y2

invariant ist unter der Operation von

Aufgabe 2.10 Zeige, dass für jedes g 2 SL2 .R/ mit g ¤ ˙1 gilt: j Sp.g/j < 2 , g hat einen Fixpunkt in H : (Hinweis: Zeige, dass g genau dann einen Fixpunkt hat, wenn es in G zu einem Element von K D SO.2/ konjugiert ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn g diagonalisierbar ist und beide Eigenwerte den Betrag 1 haben.) Aufgabe 2.11 Sei .an / eine Folge in C. Zeige, dass es ein r 2 R [ f˙1g gibt so dass s 2 C mit Re.s/ > r und für kein s mit Re.s/ < r die Dirichlet-Reihe P1 für jedes s a n absolut konvergiert. nD1 n Aufgabe 2.12 Ramanujans -Funktion ist definiert durch die Fourier-Entwicklung .z/ D .2 /12

1 X nD1

.n/q n ;

q D e2 iz :

2 Modulformen für SL2 .Z/

76

Zeige: .n/ D 8000..3 ? 3 / ? 3 /.n/  147.5 ? 5 /.n/; wobei f ? g das Cauchy-Produkt zweier Folgen bezeichnet: f ? g.n/ D

n X

f .k/g.n  k/ :

kD0

Man setzt hier a .n/ D

P d jn

d a für n  1 und 3 .0/ D

1 240

1 sowie 5 .0/ D  504 .

Aufgabe 2.13 (Jacobis Produktformel) Zeige, dass für 0 < jqj < 1 und  2 C gilt 1 X nD1

2

qn  n D

1 Y

.1  q 2n /.1 C q 2n1 /.1 C q 2n1  1 / :

nD1

Dies kann in folgenden Schritten gezeigt werden. P1 n2 n 2 iz ,  D e2 iw . Sei #.z; w/ D nD1 q  ; wobei z 2 H, w 2 C und q D e Sei 1 Y .1 C q 2n1 /.1 C q 2n1  1 / : P .z; w/ D nD1

(a) Zeige: #.z; w C 2z/ D .q/1 #.z; w/ und P .z; w C 2z/ D .q/1 P .z; w/: (b) Zeige, dass für festes z die Funktion f .w/ D #.z; w/=P .z; w/ konstant ist. (Hinweis: Zeige, dass f ganz ist und periodisch zum Gitter ƒ.1; 2z/.) Q (c) Zeige, dass für die Funktion .q/ D #.z; w/=P .z; w/ gilt .q/ D 1 nD1 .1  q 2n /: (Hinweis: Zeige, dass #.4z; 1=2/ D #.z; 1=4/ und Q P .4z; 1 / 4n2 /.1q 8n4 /: Daher .q/ D P .z; 12/ .q 4 /: P .4z; 12 /=P .z; 14 / D 1 nD1 .1q 4

Zeige nun, dass .q/ ! 1 für q ! 0.)

P Aufgabe 2.14 Zeige, dass die L-Reihe D n1 an ns auch für eine NichtP L.f; s/ n spitzenform f 2 M2k , f .z/ D n0 an q eine analytische Fortsetzung besitzt und eine Funktionalgleichung erfüllt. Sie ist aber nicht mehr ganz, sondern nur meromorph auf C. Wo liegen die Pole? Aufgabe 2.15 Sei f 2 Mk mit k  4. Nimm an, dass f keine Spitzenform ist. Zeige, dass f genau dann eine normalisierte Eigenform der Hecke-Operatoren ist, wenn .k  1/Š f D Gk 2.2 i /k gilt. Aufgabe 2.16 Für f; g 2 M2k sei Z hf; giPet D

f .z/g.z/y 2k nH

dx dy : y2

2.9 Aufgaben und Anmerkungen

77

Zeige, dass der Integrand in der Tat invariant ist unter der Operation von . Zeige, dass das Integral konvergiert, falls mindestens eine der beiden Funktionen f; g eine Spitzenform ist. Zeige, dass für k  2 die Eisenstein-Reihe G2k senkrecht auf den Spitzenformen steht. Aufgabe 2.17 Zeige, dass die Abbildung .1/ ! SL2 .Z=N Z/ surjektiv ist. (Hinweis: Mit Hilfe des Elementarteilersatzes reduziere auf den Fall einer Diagonalmatrix der Form . a an /. Ändere einerseits n modulo N ab und betrachte andererseits Matrizen der Form Na Nanx . Beachte, dass a und N teilerfremd sind.) Aufgabe 2.18 Sei   .1/ eine Kongruenzuntergruppe und sei † ein Normalteiler von endlichem Index in . Zeige, dass die endliche Gruppe =† auf Mk .†/ durch f 7! f j operiert. Diese Operation ist unitär bezüglich des PeterssonSkalarproduktes.   Aufgabe 2.19 Sei 0 .N / die Gruppe aller ac db 2 .1/ mit c  0 mod.N / und   sei 1 .N / die Untergruppe aller ac db 2 0 .N / mit a  d  1 mod.N /. Sei  ein Dirichlet Charakter modulo N , d. h., ein Gruppenhomomorphismus  W .Z=N Z/ ! C . Sei Sk .0.N /; / die Menge aller f 2 Sk .1 .N // mit f j D .d /f für jedes  D ac db 2 0 .N /. Zeige Sk .1 .N // D

M

Sk .0 .N /; / ;



wobei die Summe orthogonal ist bezüglich des Petersson-Skalarproduktes. (Hinweis: Benutze Aufgabe 2 und den Spektralsatz für unitäre Matrizen, sowie Lemma 2.7.11 der Vorlesung.) Aufgabe 2.20 Sei f 2 Mk ./ für eine Kongruenzuntergruppe . Zeige: Es gibt ein ˛ 2 GL2 .Q/C und ein N 2 N, so dass f j˛ 2 Mk .1 .N //. Sei S die endliche Menge aller Primzahlen, die N teilen und sei ZS die Lokalisierung von Z in S , d. h. die Menge aller rationalen Zahlen a=b, wobei der Nenner b teilerfremd zu N ist. Dann ist N ZS ein Ideal von ZS und ZS =N ZS Š Z=N  Z. Sei G0 .N / die Untergruppe von GL2 .ZS / bestehend aus allen Matrizen ac db mit positiver Determinante so dass c 2 N ZS . Zeige, dass ein Vertretersystem von 0 .N /nG0 .N /= 0 .N / gegeben ist durch die Menge aller Matrizen . an a /, wobei a 2 ZS positiv ist und n 2 N teilerfremd zu N . (Hinweis: Sei ˛ 2 G0 .N /. Dann existieren ;  2 .1/ so dass ˛ D d mit d D . an a /. Zeige, dass a und n die Bedingungen der Aufgabe erfüllen. Zeige, dass  durch Linksmultiplikation um ein Element aus 0 .n/ abgeändert werden kann, wenn man auch  entsprechend ändert.) Aufgabe 2.21 Sei f eine stetige Funktion auf einer offenen Menge D  C2 . Für jedes z0 2 C sei die Funktion w 7! f .z0 ; w/ holomorph, wo definiert und für jedes w0 2 C sei die Funktion z 7! f .z; w0 / holomorph, wo definiert. Also f ist in jedem Argument separat holomorph. Zeige, dass f simultan in beiden Argumenten

2 Modulformen für SL2 .Z/

78

in Potenzreihen entwickelbar ist. Dies heißt folgendes: Für jedes .z0 ; w0 / gibt es eine offene Umgebung in der gilt f .z; w/ D

1 X 1 X

am;n .z  z0 /n .w  w0 /m ;

nD0 mD0

für komplexe Zahlen am;n , wobei die Doppelreihe absolut konvergiert. Folgere, dass f eine glatte Funktion ist. (Hinweis: Es reicht, .0; 0/ 2 D anzunehmen und die Reihenentwicklung in einer Umgebung dieses Punktes zu zeigen. Seien K; L zwei Kreisscheiben um Null in C so dass K  L  L. Sei z im Inneren von K und w im Inneren von L. Wenden die Cauchysche Integralformel zweimal an um f .z; w/ D

1 2 i

Z

f .; w/ 1 d D  z 4 2

@K

Z Z

f .; / d d .  z/.  w/

@K @L

zu erhalten. Schreibe dann 1 X 1 X 1 1 f .; / f .; / zn wm ; D D f .; / .  z/.  w/  .1  z=/.1  w= / 

n m nD0 mD0

wobei die geometrische Reihe eingesetzt wurde (Rechtfertigung?) Zeige nun, dass die Doppelreihe auf den Integrationswegen gleichmäßig konvergiert und somit Integration und Summation vertauscht werden dürfen.) Aufgabe 2.22 Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von endlichem Index, also jG=H j < 1. Zeige, dass H einen Normalteiler N von G enthält, der endlichen Index in G hat. T S (Hinweis: Schreibe G D jnD1 gj H und betrachte N D j gj Hgj1 .) Aufgabe 2.23 Seien 0 < p; q 2 Q. Die Matrizen iD

p p

p ;  p

 j D p

p q q

erzeugen eine Q-Unteralgebra M von M2 .R/ mit den Relationen i 2 D p; j 2 D q; ij D j i : Aus diesen Relationen folgt, dass die Vektoren 1; i; j; ij eine Basis von M über Q bilden, also ist M vierdimensional. Ein solches M nennt man eine Quaternionenalgebra. Zeige, dass M eine Divisionsalgebra ist, falls p und q Primzahlen sind derart dass q kein quadratischer Rest modulo p ist.

2.9 Aufgaben und Anmerkungen

79

Anmerkungen Eine Homothetie auf C ist eine Abbildung der Form z 7! z, wobei  2 C ist. Die in Satz 2.1.5 angegebene Bijektion nH ! GITT =C zeigt, dass nH der Modulraum der Gitter modulo Homothetie ist. Generell ist ein Modulraum ein mathematisches Objekt, dessen Punkte andere mathematische Objekte klassifizieren, wie in diesem Fall nH genau die Gitter in C bis auf Homothetie klassifiziert. Wer mehr über Modulräume wissen möchte, ist mit den Büchern [16] und [21] gut beraten. Die j -Funktion ist eine Bijektion von nH nach C. Nimmt man den Punkt i 1 hinzu, erhält man eine Bijektion nach b C D C [ f1g D P1 .C/. Allgemeiner kompaktifiziert man nH für eine Kongruenzuntergruppe  durch Hinzunahme der Spitzen eines Fundamentalbereichs. Der so kompaktifizierte Raum hat dann die Struktur einer algebraischen Kurve, die in einem projektiven Raum höherer Dimension realisiert werden kann. Neben den Kongruenzuntergruppen kann man auch beliebige Untergruppen von endlichem Index von SL2 .Z/ oder gar diskrete Untergruppen  von G D SL2 .R/ von endlichem Covolumen betrachten, siehe etwa [20]. In diesem Buch schränken wir uns auf Kongruenzuntergruppen ein, da diese für die Zahlentheorie die wichtigsten sind. Die nichtholomorphen Eisenstein-Reihen liefern den kontinuierlichen Beitrag in der Spektralzerlegung der Maaßschen Wellenformen [20]. Zum Beweis dieser Tatsache ist die Rankin-Selberg-Methode von entscheidender Bedeutung. In diesem Buch tritt sie aber auch aus einem anderen Grund auf. Die Rankin-Selberg-Faltung ist ein erstes Beispiel einer automorphen L-Funktion, die nicht zur GL2 , sondern zur GL4 gehört. Dies sieht man daran, dass die Euler-Faktoren Polynome vierten Grades sind. Für die Langlands-Vermutungen, denen zufolge jede L-Funktion, die in der Zahlentheorie auftritt, schon automorph sein sollte, werden L-Funktionen automorpher Formen der Gruppen GLn für jedes n benötigt, siehe [4].

Kapitel 3

Darstellungen der SL2 .R/

In diesem Kapitel sehen wir, wie man Spitzenformen als Darstellungsvektoren für Lie-Gruppen verstehen kann. Dies gibt uns die Möglichkeit, Methoden der Darstellungstheorie auf Automorphe Formen anzuwenden.

3.1 Haar-Maße und Zerlegungen Die Gruppe G D SL2 .R/ operiert Halbebene  auf  durch  der oberen  gebrochen lineaazCb re Transformationen, also via ac db z D czCd . Sei g D ac db 2 G im Stabilisator ai Cb D i oder ai C b D c C d i , woraus von i 2 H, d. h. gi D i . Dann folgt ci Cd durch Vergleich von Real- und Imaginärteil a D d und b D c folgt. Damit ist der Stabilisator von i 2 H gleich der Drehgruppe    a b 2 2 W a; b 2 R; a C b D 1 : K D SO.2/ D b a Diese kann auch beschrieben werden als die Gruppe aller Matrizen der Form   cos '  sin ' für ' 2 R : sin ' cos ' Die Operation von G auf H ist transitiv (d. h. es gibt nur eine Bahn), denn für z D x C iy 2 H gilt ! p y pxy z D i: p1 0 y Also ist die Abbildung G=K ! H gK 7! gi; eine Bijektion, die die obere Halbebene H mit dem Quotienten G=K identifiziert. A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

81

3 Darstellungen der SL2 .R/

82

4 Die Gruppe G trägt als Teilmenge von Mat2 .R/ Š R eine natürliche Topologie. Eine Folge acnn dbnn konvergiert dann in G gegen ac db genau dann, wenn an ! a, bn ! b, cn ! c und dn ! d . Die Operation auf H ist stetig in dem Sinne, dass die Abbildung

GH ! H .g; z/ 7! gz stetig ist. (Siehe Aufgabe 3.2)

Satz 3.1.1 (Iwasawa Zerlegung) Sei A die Gruppe aller Diagonalmatrizen   in G mit positiven Einträgen. Sei N die Gruppe aller Matrizen der Form 10 s1 mit s 2 R. Dann gilt G D ANK. Genauer ist die Abbildung W A  N  K ! G; .a; n; k/ 7! ank ein Homöomorphismus.

Beweis: Sei g 2 G und sei gi D x C yi . Mit ! p y aD und n D p 1= y

1

x=y 1

! ;

gilt dann gi D ani und damit liegt g 1 an in K, d. h. es existiert ein k 2 K mit ai Cb bestimmt man die inverse Abbildung g D ank. Mit Hilfe der Formel gi D ci Cd wie folgt. Sei  WG !AN K gegeben durch .g/ D .a.g/; n.g/; k.g//, wobei ! ! p 1 a b 2 Cd 2 c p a ; D c d c2 C d 2

n

a c

b d

k

a c

b d

! D

1 ac C bd 1

!

1

D p c2 C d 2

Dann rechnet man leicht nach, dass gilt 

! ;

d c

c d

! :

D Id und  D Id.



3.1 Haar-Maße und Zerlegungen

83

Die Notation a.g/, n.g/ und k.g/ wird im Folgenden weiter verwendet. Für x; t;  2 R schreiben wir   t e def at D 2A et   1 x 2N nx def D 1   cos   sin  2K: k def D sin  cos  Definition 3.1.2 Sei k 2 N0 . Eine Funktion f W G ! C heißt k-mal stetig differenzierbar, falls die Abbildung R3 ! C, .t; x; / 7! f .at nx k / k-mal stetig differenzierbar ist. Sie heißt glatt, falls sie unendlich oft stetig differenzierbar ist. Die Menge der glatten Funktionen wird geschrieben als C 1 .G/. Die Menge der glatten Funktionen mit kompakten Trägern wird geschrieben als Cc1 .G/. Die Gruppe G ist ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, da G eine abgeschlossene Teilmenge des R4 ist. Ferner ist G eine topologische Gruppe, d. h. die Gruppenoperationen GG ! G G!G .x; y/ 7! xy; x 7! x 1 ; sind stetige Abbildungen. Eine topologische Gruppe, die lokalkompakt und hausdorffsch ist, heißt lokalkompakte Gruppe. Beispiele 3.1.3 • Ist G eine beliebige Gruppe, so wird G mit der diskreten Topologie (d. h., jede Teilmenge ist offen) eine lokalkompakte Gruppe. Wir nennen G dann eine diskrete Gruppe. • Die Gruppen GL2 .R/ und SL2 .R/ sind mit der Topologie des R4 lokalkompakte Gruppen. • Wir werden später weitere Beispiele mit Hilfe p-adischer Zahlen und Adelen konstruieren. Lemma 3.1.4 Sei G eine lokalkompakte Gruppe. Jede Funktion f 2 Cc .G/ ist gleichmäßig stetig in dem Sinne, dass es zu jedem " > 0 eine Umgebung U der Eins in G gibt so dass für x; y 2 G mit x 1 y 2 U oder yx 1 2 U gilt jf .x/f .y/j < ". Beweis: Wir beweisen nur die Aussage mit x 1 y 2 U , denn die andere kann analog bewiesen werden. Sei K der Träger von f . Wähle " > 0 und eine kompakte Umgebung V der Eins in G. Da f stetig ist, existiert zu jedem x 2 G eine offene Einsumgebung Vx  V so dass y 2 xVx ) jf .x/f .y/j < "=2. Da die Gruppenmultiplikation stetig ist, existiert eine offene Einsumgebung Ux mit Ux2  Vx . Die

3 Darstellungen der SL2 .R/

84

Mengen xUx , mit x 2 K V , bilden eine offene Überdeckung der kompakten Menge K V . Also gibt es, x1 ; : : : xn 2 K V so dass K V  x1 U1 [    [ xn Un , wobei wir Uj für Uxj geschrieben haben. Sei U D U1 \    \ Un . Dann ist U eine offene Einsumgebung. Seien nun x; y 2 G mit x 1 y 2 U . Falls x … K V , dann y … K, da x 2 yU 1 D yU  yV . In dem Fall schließen wir also f .x/ D f .y/ D 0. Sei nun also x 2 K V . Dann existiert ein j mit x 2 xj Uj , also y 2 xj Uj U  xj Vj . Es folgt jf .x/  f .y/j  jf .x/  f .xj /j C jf .xj /  f .y/j < wie behauptet.

" " C D " 2 2 

Definition 3.1.5 Ein Maß , definiert auf der Borel--Algebra eines lokalkompakten Hausdorff-Raums X heißt Radon-Maß, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: (a) .K/ < 1 für jede kompakte Teilmenge; (b) .A/ D infU A .U /, wobei das Infimum über alle offenen Teilmengen U  A erstreckt wird und A  X messbar ist; (c) .A/ D supKA .K/, wobei das Supremum über alle kompakten Teilmengen K  X erstreckt wird, die in A liegen, hierbei ist A offen oder von endlichem Maß. Beispiele 3.1.6 • Ist X diskret, d. h., jede Menge ist offen, dann ist das Zählmaß ( n falls A endlich mit n Elementen, .A/ D 1 sonst, ein Radon-Maß. • Ist X D R, so ist das Lebesgue-Maß ein Radon-Maß. Proposition 3.1.7 Sei  ein Radon-Maß auf dem lokalkompakten Hausdorff-Raum X . Für jedes 1  p  1 ist dann Cc .X / dicht in Lp .X /. Beweis: Sei f 2 Lp .X /. Wir wollen zeigen, dass f als Limes einer Folge in Cc .X / dargestellt werden kann. Wir können f in Real- und Imaginärteil und diese weiter in Positiv- und Negativteil zerlegen. Können wir diese als solche Limiten darstellen, dann auch f . Es reicht also, f  0 anzunehmen. Dann kann man f als punktweisen Limes einer monoton wachsenden Folge von Lebesgue-Treppenfunktionen schreiben. Es reicht also, anzunehmen, dass f eine Lebesgue-Treppenfunktion ist. Wegen Linearität kann man sich weiter auf den Fall f D 1A für eine Menge A von endlichem Maß zurückziehen. Wegen der äußeren Regularität existiert eine Folge Un offener Mengen, Un  UnC1  A, so dass .Un / ! .A/, d. h., jj1A  1Un jjp ! 0. Man kann daher annehmen, dass A selbst offen ist. Wegen der inneren Regularität offener Mengen existiert dann eine Folge kompakter Mengen Kn  KnC1  A so dass jj1A  1Kn jjp ! 0. Nach dem Lemma von Urysohn, A.3.5, gibt es für je-

3.1 Haar-Maße und Zerlegungen

85

des n eine Funktion 'n 2 Cc .X / mit 1Kn  'n  1A . Es folgt 'n ! 1A in der Lp -Norm.  R Ist  ein Radon-Maß auf X , so ist das Integral I D I W ' 7! X '.x/ d.x/ eine lineare Abbildung Cc .X / ! C die positiv ist in dem Sinne, dass '  0 ) I.'/  0. Der Rieszsche Darstellungssatz besagt, dass die Abbildung  7! I eine Bijektion zwischen der Menge aller Radon-Maße und der Menge aller positiven Funktionale auf Cc .X / ist. Dies ist der Grund für die Wichtigkeit von RadonMaßen. Satz 3.1.8 Sei G eine lokalkompakte Gruppe, dann gibt es ein Radon-Maß  ¤ 0 auf der Borel--Algebra, welches linksinvariant ist, d. h., es gilt .xA/ D .A/ für x 2 G und jede messbare Menge A  G. Dieses Maß  ist eindeutig bestimmt bis auf positive Vielfache, es heißt das Haar-Maß von G. Beweis: Ein Beweis findet sich zum Beispiel in folgenden Büchern: [8, 9, 33].



Beispiele 3.1.9 • Ist G eine diskrete Gruppe, so ist das Zählmaß ein Haar-Maß. • Für G D .R; C/ ist das Lebesgue-Maß dx ein Haar-Maß. • Für G D .R ; / ist dx x ein Haar-Maß. Dies folgt aus der Substitutionsregel. • Wie SL2 .R/ ist auch G D GL2 .R/ eine lokalkompakte Gruppe. Ein Haar-Maß ist gegeben durch dx dy dz dw ; jxw  yzj2 wobei die Koordinaten die Einträge einer Matrix bezeichnen: . xz folgt aus der Transformationsformel.

y w

/ 2 G. Dies

Die Linksinvarianz des Haar-Maßes  einer lokalkompakten Gruppe äußert sich in der Translationsinvarianz des Integrals, d. h., für jedes f 2 L1 .G; / gilt Z Z f .xy/ d.y/ D f .y/ d.y/ G

G

falls x 2 G ist. Konvention. Der Einfachheit halber schreiben wir immer dx statt d.x/, wenn wir über ein Haar-Maß integrieren, wobei wir stets voraussetzen, dass ein Haar-Maß fest gewählt wurde. Wir schreiben also Z f .x/ dx G

R

statt G f .x/ d.x/. Das Volumen einer messbaren Menge A  G schreiben wir dann als voldx .A/ :

3 Darstellungen der SL2 .R/

86

Definition 3.1.10 Sei G eine lokalkompakte Gruppe mit Haar-Maß dx. Für f; g 2 L1 .G/ sei die Faltung definiert durch Z f g.x/ D f .y/g.y 1 x/ dx : G

Proposition 3.1.11 Sei G eine lokalkompakte Gruppe mit Haar-Maß dx. Sind f; g 2 L1 .G/, so existiert das Integral f g.x/ für x außerhalb einer Nullmenge und die Funktion f g liegt in L1 .G/, genauer gilt jjf gjj1  jjf jj1 jjgjj1 . Damit bildet L1 .G/ eine Algebra über C, d. h., für alle f; g; h 2 L1 .G/ gilt .f g/ h D f .g h/;

f .gCh/ D f gCf h;

.f Cg/ h D f hCg h

und für jedes  2 C gilt außerdem .f g/ D .f / g D f .g/ : Beweis: Dies sind einfache Anwendungen der Invarianz des Haar-Maßes. Beispielhaft beweisen wir die erste Aussage. Seien f; g 2 L1 .G/, dann gilt ˇ ˇ ˇ Z Z ˇZ ˇ ˇ 1 ˇ ˇ jf g.x/j dx D jjf gjj1 D ˇ f .y/g.y x/ dy ˇ dx ˇ ˇ G G G Z Z Z Z jf .y/g.y 1 x/j dy dx D jf .y/g.y 1 x/j dx dy  G G

G G

Z Z D

jf .y/g.x/j dx dy D jjgjj1 jjf jj1 : G G

Aus der Existenz dieses Integrals folgt im Rückschluss mit Hilfe des Satzes von Fubini A.2.2.  Ein linksinvariantes Haar-Maß  braucht nicht rechtsinvariant zu sei, d. h. im Allgemeinen gilt .Ax/ ¤ .A/. Für ein gegebenes x 2 G sei x .A/ D .Ax/ : Dann ist x selbst wieder ein linksinvariantes Haar-Maß, denn x .yA/ D .yAx/ D .Ax/ D x .A/ : Also gibt es wegen der Eindeutigkeit des Haar-Maßes eine Zahl .x/ > 0 mit x D .x/. Die so entstehende Funktion  D G W G ! .0; 1/ heißt die Modularfunktion von G. Die Modularfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus in die multiplikative Gruppe R >0 , denn .xy/.A/ D .Axy/ D .y/.Ax/ D .y/.x/.A/ : Ferner stellt man fest, dass  eine stetige Funktion ist (siehe etwa [8], Chap. 1).

3.1 Haar-Maße und Zerlegungen

87

Beispiel 3.1.12 Sei B die Gruppe der reellen Matrizen der Form  Dann ist (siehe Aufgabe 3.4) die Modularfunktion  gleich  10

1

 x

0 y x y D

mit y ¤ 0. jyj.

Definition 3.1.13 Eine Gruppe G operiere durch messbare Abbildungen auf einem Messraum .X; A/. Ein Maß  auf X heißt invariantes Maß, falls für jede messbare Teilmenge A  X und jedes g 2 G gilt .gA/ D .A/. Dies wird insbesondere untersucht im Falle dass X ein Nebenklassenraum G=H nach einer Untergruppe von G ist.

Satz 3.1.14 (a) Sei H  G eine abgeschlossene Untergruppe der lokalkompakten Gruppe G. Auf dem lokalkompakten Raum G=H existiert genau dann ein nichttriviales, G-invariantes Radon Maß, wenn G jH D H : In diesem Fall kann man das invariante Maß auf G=H so normieren, dass für jedes f 2 L1 .G/ die Integralformel Z Z Z f .x/ dx D f .yh/ dh dy G

G=H H

Gültigkeit hat. Das invariante Maß auf G=H ist eindeutig bestimmt bis auf skalare Vielfache. (b) Für y 2 G und f 2 L1 .G/ ist Z Z 1 f .xy/ dx D .y / f .x/ dx : G

G

(c) Die Gleichung Z

f .x 1 / .x 1 / dx D

G

Z f .x/ dx G

gilt für jedes f 2 L1 .G/. (d) Ist H  G eine abgeschlossene Untergruppe und K  G eine kompakte Untergruppe so dass G D HK, dann kann man die Haar-Maße von G; H; K so normieren, dass für jede integrierbare Funktion f die Formel Z Z Z f .x/ dx D f .hk/ dk dh G

gilt.

H K

3 Darstellungen der SL2 .R/

88



Beweis: [8, 9, 33].

Beispiel 3.1.15 Man kann die obere Halbebene H durch die Abbildung g 7! gi D  ai Cb a b mit dem Quotienten G=K D SL .R/=SO.2/ identifizieren. für g D 2 ci Cd c d Das invariante Maß d D dxydy ist dann genau ein solches Maß auf G=K wie im 2 Satz erwähnt. Es folgt, dass  durch die G-Invarianz bis auf Vielfache eindeutig bestimmt ist. Die Gruppe G heißt unimodular, falls  1. Beispiele 3.1.16 • Ist G abelsch, so ist G unimodular. • Ist G kompakt, so ist G unimodular, denn .G/ ist eine kompakte Untergruppe von R >0 , also ist .G/ D f1g. Proposition 3.1.17 Die Gruppe G D SL2 .R/ ist unimodular. Beweis: Sei  W G ! R C ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Wir zeigen, dass  trivial ist. Zunächst gilt .K/ D 1 da K kompakt ist. Da  eingeschränkt auf A ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist, existiert ein x 2 R so dass .at / D etx  1  für jedes t 2 R. Sei w D 1 , dann wat w 1 D at , und daher etx D .a t / D 1 tx .wat w / D e für jedes t 2 R. Damit ist x D 0 und so .A/ D 1. Ebenso 2t gilt .nx / D erx für ein r 2 R. Wegen a t nx a1 D ne2t x folgt ers D ere s für t jedes t 2 R, also r D 0 und damit .N / D 1. Nach der Iwasawa-Zerlegung folgt .G/ D .ANK/ D .A/.N /.K/ D 1.  Wir schreiben t.g/ für das eindeutig bestimmte t 2 R mit a.g/ D a t , d. h. es gilt a.g/ D at .g/ : Satz 3.1.18 (Iwasawa-Integralformel) Zu gegebenen Haar-Maßen auf drei der Gruppen G; A; N; K gibt es ein eindeutig bestimmtes Haar-Maß auf der vierten, so dass für f 2 L1 .G/ die Formel Z Z Z Z f .x/ dx D f .ank/ dk dn da G

A N K

gilt. Wir wählen feste Haar-Maße wie folgt. Auf K wählen wir das eindeutig bestimmte Haar-Maß mit Volumen 1. Auf A wählen wir das Maß 2dt, wobei t D t.a/, R und auf N wählen wir R f .ns /ds. Der Faktor 2 wurde eingefügt, damit das Maß kompatibel ist zum Maß dxydy auf der oberen Halbebene. 2 Beweis des Satzes: Sei B D AN die Untergruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit positiven Diagonaleinträgen. Man rechnet leicht nach, dass db D dadn ein Haar-Maß auf B ist und dass B nicht unimodular ist, in der Tat, man hat B .t/ D e2t , was man aus der Gleichung at nx as ny D a t Cs nyCe2s x erhält.

3.2 Darstellungen

89

Sei b W G ! B die Projektion b.g/ D a.g/n.g/. Die Abbildung B ! G=K Š H, die b auf bK wirft, ist ein B-äquivarianter Homöomorphismus. Jedes G-invariante Maß auf G=K Š H liefert ein Haar-Maß auf B und die Eindeutigkeit dieser Maße B-invariante Maß auf G=KR schon G-invariant Rimpliziert, dass jedes R R R ist. Die Formel R f .x/ dx D f .xk/ dk dx führt zu f .x/ dx D G G=K K G B K f .bk/ dk db. Wegen db D da dn folgt die Integralformel. 

3.2 Darstellungen Wir definieren hier den Begriff einer stetigen Darstellung einer topologischen Gruppe auf einem Banach-Raum V . Definition 3.2.1 Sei G eine topologische Gruppe. Eine Darstellung von G ist ein Gruppenhomomorphismus  W G ! GL.V /; mit einem Banach-Raum V , derart dass die Abbildung G V ! V ;

.g; v/ 7! .g/v

stetig ist. Beispiele 3.2.2 • Sei W G ! C ein stetiger Gruppenhomomorphismus, also ein sogenannter Quasicharakter. Dann kann man als eine Darstellung auffassen, da es einen kanonischen Isomorphismus C Š GL.C/ gibt. • Sei G D SL2 .R/. Diese Gruppe hat eine natürliche Darstellung auf C2 , die durch Matrizenmultiplikation gegeben ist. Sei V ein Hilbert-Raum. Eine Darstellung  auf V heißt unitäre Darstellung, falls .g/ unitär ist für jedes g 2 G. D. h.,  ist genau dann unitär, wenn für jedes g 2 G und für alle v; w 2 V gilt h.g/v; .g/wi D hv; wi. Lemma 3.2.3 Eine Darstellung  einer Gruppe G auf einem Hilbert-Raum V ist genau dann unitär, wenn für jedes g 2 G gilt .g 1 / D .g/ . Beweis: Ein Operator T ist genau dann unitär, wenn er invertierbar ist und T 1 D T  gilt. Eine Darstellung  ist ein Gruppenhomomorphismus und erfüllt daher .g1 / D .g/1 . Diese beiden Aussagen ergeben zusammen die Behauptung.  Beispiel 3.2.4 Sei W G ! C ein Quasicharakter. Als Darstellung aufgefasst ist genau dann unitär, wenn das Bild von im kompakten Torus T D fz 2 C W jzj D 1g liegt. In diesem Fall sagt man, dass ein Charakter ist. Wir besprechen nun ein weiteres wichtiges Beispiel. Sei G eine lokalkompakte Gruppe. Auf dem Hilbert-Raum L2 .G/ definieren wir für jedes x 2 G einen Operator Lx durch Lx '.y/ D '.x 1 y/;

' 2 L2 .G/ :

3 Darstellungen der SL2 .R/

90

Lemma 3.2.5 Die Abbildung x 7! Lx ist eine unitäre Darstellung der lokalkompakten Gruppe G. Beweis: Wir zeigen zunächst, dass Lx ein unitärer Operator ist. Wir benutzen die Linksinvarianz des Haar-Maßes: Z Z '.x 1 y/ .x 1 y/ dy hLx '; Lx i D Lx '.y/Lx .y/ dy D G

G

Z

D

'.y/ .y/ dy D h'; i : G

Wir müssen nun noch die Stetigkeit der Abbildung ˆ W G  L2 .G/ ! L2 .G/; .x; '/ 7! Lx ' verifizieren. Sei hierzu '0 2 L2 .G/ gegeben. Eine offene Umgebung von '0 in L2 .G/ ist gegeben durch die Menge Br .'0 / aller ' 2 L2 .G/ mit jj'  '0 jj < r, wobei r > 0 und jjjj die L2 -Norm ist. Wir müssen beweisen, dass S D ˆ1 .Br .'0 // eine offene Teilmenge des Produktes G  L2 .G/ ist. Sei .x; '/ 2 S , also jjLx '  '0 jj < r. Es ist zu zeigen, dass es offene Umgebungen U von x und V von ' gibt mit U  V  S . Hierzu schätzen wir für y 2 G und 2 L2 .G/ wie folgt ab: ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇLy  '0 ˇˇ  ˇˇLx '  Ly ˇˇ C jjLx '  '0 jj ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ  ˇˇLx '  Ly ' ˇˇ C ˇˇLy '  Ly ˇˇ C jjLx '  '0 jj ˇˇ ˇˇ D ˇˇ.Lx  Ly /' ˇˇ C jj'  jj C jjLx '  '0 jj : Der letzte Summand ist echt kleiner als r. Sei also " def D r  jjLx '  '0 jj > 0 : Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir zeigen können, dass es Umgebungen U von x und V von ' gibt, so dass für .y; / 2 U  V gilt ˇˇ ˇˇ ˇˇ.Lx  Ly /' ˇˇ C jj'  jj < " : Sei also V die Menge aller 2 L2 .G/ mit jj'  jj < "=2. Es ist ˇzu ˇ zeigen, dass ˇˇ es eine offene Umgebung U von x gibt, so dass für jedes y 2 U gilt ˇˇ.Lx  Ly /' ˇˇ < "=2. Nach Proposition 3.1.7 existiert ein g 2 Cc .G/ mit jj'  gjj < "=8. Es folgt ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ.Lx  Ly /' ˇˇ  ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ C ˇˇ.Lx  Ly /.g  '/ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ  ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ C jjLx .g  '/jj C ˇˇLy .g  '/ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ D ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ C 2 jjg  'jj < ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ C "=4 Sei nun C der kompakte Träger von g. Wir können annehmen, dass C positives Haar-Maß .C / > 0 hat. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von g, also Lem-

3.2 Darstellungen

91

ma 3.1.4, gibt es eine offene Umgebung U von x, so dass für alle y 2 U und alle t 2 G gilt " jg.x 1 t/  g.y 1 t/j < p ; 4 .C / also jg.x 1 t/  g.y 1 t/j2
0 . Betrachte jxjx 2 Afin . Sei p eine Primzahl, k  so ist xp D p u für ein k 2 Z und ein u 2 Zp . Also ist jxj D p k r, wobei r 2 Q teilerfremd zu p ist. Es folgt, dass jjxjxp jp D 1, also ist jxjx 2 b Z . Mit q D jxj1 folgt x 2 qb Z und damit die erste Behauptung von (a). Die zweite ist dann auch klar. Für (b) benutzen wir (a) in der folgenden Weise Z Z X Z XZ X jxjs d x D jxjs d x D jkxjs d x D k s jxjs d x :

b Z

k2N kb Z

k2N

b Z

k2N

b Z „ ƒ‚ D1

Die Konvergenz folgt aus der Konvergenz der Dirichlet-Reihe .s/.

… 

5.4 Fourier-Analysis auf A In diesem Abschnitt führen wir die Fourier-Transformation und die Fourier-Reihen auf den Adelen ein. Wir schließen mit der für uns wichtigen Poisson-Summationsformel. Sei G eine topologische Gruppe. Ein Charakter von G ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus  W G ! T, wobei T D fz 2 C W jzj D 1g die Kreisgruppe ist. Die Menge der Charaktere ist selbst wieder eine Gruppe unter der punktweisen Multiplikation .x/ D .x/.x/ ; diese wird die duale Gruppe zu G genannt. Wir bezeichnen die duale Gruppe von b G mit G.

130

5 Adele und Idele

Wir definieren nun einen Charakter e der additivem Gruppe von A. Sei zunächst p eine Primzahl und sei ep W Qp ! T definiert durch 0 0 1 1 1 1 1 X X Y j jA jA @ @ aj p aj p e2 i aj p : ep .x/ D e D exp 2 i D j DN

j DN

j DN

Dann ist ep ein Charakter der additiven Gruppe .Qp ; C/, wie in Übungsaufgabe 4.5 gezeigt wurde. Beachte, dass ep .Zp / D 1. Für p D 1 schließlich definiere e1 W R ! T durch e1 .x/ D e2 ix : Lemma 5.4.1 Für jedes x 2 A hat das Produkt Y ep .xp / e.x/ D p1

nur endlich viele Glieder ¤ 1. Die so definierte Abbildung e W A ! T ist ein Charakter. Beweis: Es ist xp 2 Zp für fast alle p also ist das Produkt in der Tat endlich. Ist xj ! x eine konvergente Folge in A, so gibt es eine endliche Stellenmenge E mit p … E ) xj;p 2 Zp für alle j . Damit gilt Y Y ep .xj;p / ! ep .xp / D e.x/ ; e.xj / D p2E

p2E

da die einzelnen ep stetig sind. Dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt, ist ebenfalls klar.  Satz 5.4.2 (a) Ist p  1 und ist  W Qp ! T ein Charakter, so gibt es ein eindeutig bestimmtes a 2 Qp mit .x/ D ep .ax/. Die Zuordnung cp . a 7! ep .a/ ist ein Gruppen-Isomorphismus von Qp ! Q (b) Ist  W A ! T ein Charakter, so gibt es ein eindeutig bestimmtes a 2 A mit .x/ D e.ax/. Die Zuordnung  7! a ist ein Gruppen-Isomorphismus von b A ! A. (c) Die Charaktere der kompakten Gruppe A=Q können identifiziert werden mit den Charakteren  von A mit .Q/ D 1. Diese sind gegeben durch eq , mit q 2 Q.

Beweis: Teil (a) ist für p < 1 in der Übungsaufgabe 4.6 bewiesen worden. Für p D 1 beweisen wir es jetzt. Sei also  W R ! T ein Charakter. Wegen der Stetigkeit von  existiert ein " > 0 so dass .Œ"; "/  fRe.z/ > 0g. Sei a das

5.4 Fourier-Analysis auf A

131

eindeutig bestimmte Element von Œ 1 ; 1  so dass ."/ D e2 i a" . Wir behaupten 4" 4" nun, dass " " D e2 i a 2 :  2  2   Um dies zu zeigen, bemerken wir  "2 D ."/ D e2 i a" , also ist  "2 D " " ˙e2 i a 2 und e2 i a 2 hat Realteil < 0.   " Wir iterieren dieses Argument und sehen  2"n D e2 i a 2n . Für ein beliebiges k 2 Z folgt dann  k   1 k k  n D  n D e2 i a 2n : 2 2 Die Menge aller 2kn mit k 2 Z, n 2 N ist dicht in R, so dass wir wegen der Stetigkeit schließen können .x/ D e2 i ax für jedes x 2 R. Die Eindeutigkeit von a folgt zum Beispiel aus der Tatsache, dass die Ableitung von x 7! e2 i ax an der Stelle x D 0 gerade 2 i a ist.  Für Teil (b) sei p W Qp ,! A ! T, wobei die Einbettung von Qp die additive Einbettung ist: x 7! .: : : ; 0; p; 0; : : : /. Nach Teil (a) existiert ein eindeutig bestimmtes ap 2 Qp mit p .x/ D ep .ap x/ für jedes x 2 Qp . Wir zeigen nun: p .Zp / D 1

für fast alle p :

Sei U  T die Menge aller z 2 T mit Re.z/ > 0. Dann ist U eine offene Umgebung der Eins. Also muss 1 .U / eine offene Umgebung der Null in A enthalten. Es gibt daher eine endliche Stellenmenge E mit ! ! Y Y X D Zp  f0g  1 .U / : p…E

p2E

Die linke Seite X ist eine Untergruppe von A, also ist .X /  U eine Untergruppe von U . Die Menge U enthält aber nur eine einzige Untergruppe, nämlich f1g, also ist .X / D 1, woraus p .Zp / D 1 für jedes p … E folgt. Hieraus ergibt sich, dass die Abbildung Q W A ! T, Y .x/ Q D p .xp / p

wohldefiniert ist. In der Tat, sie ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus und sie stimmt mit  auf allen Qp überein. Die Qp erzeugen in A aber eine dichte Untergruppe, also ist  D . Q Damit folgt für x 2 A: Y Y p .xp / D ep .ap xp / D e.ax/ : .x/ D p

p

Die Eindeutigkeit von a folgt aus der Eindeutigkeit der Koordinaten ap . Die Zuordnung  7! a ist ein Gruppenhomomorphismus, denn ist .x/ D e.ax/ und .x/ D e.bx/, so ist  D e..a C b/x/. Die Umkehrabbildung ist a 7! e.a/, also ist sie bijektiv.

132

5 Adele und Idele

Nun zu (c). Die erste Aussage ist klar. Sei also  ein Charakter von A mit .Q/ D 1. Nach (b) existiert ein a 2 A mit .x/ D e.ax/ und wir müssen zeigen, dass a 2 Q ist. Wir können a durch p k a ersetzen falls jajp > 1 und erhalten so sukzessive jajp  1 für jedes p, also afin 2 b Z. Wir wollen zeigen, dass unter diesen Umständen a 2 Z folgt. Es ist e.afin / D 1, also 1 D e1 .a1 / D e2 i a1 , was zur Folge hat, dass a1 in Z liegt. Durch Multiplikation mit P 1 können wir annehmen, dass a1  0 ist. Sei p eine Primzahl. Schreibe ap D j1D0 cj p j mit P 0  cj < p und außerdem a1 D jND0 bj p j mit ebenfalls 0  bj < p. Wir zeigen, dass cj D bj für alle j und alle p, damit folgt die Behauptung. Für jedes k 2 N gilt e.p k a/ D 1, also ep .p k ap /e1 .p k a1 / D 1, was zur Folge hat 0 1 1 0 k N X X cj p j k A D exp @2 i bj p j k A : exp @2 i j D0

j D0

Da dies für alle k gilt, folgt cj D bj .



5.4.1 Lokale Fourieranalysis Wir erinnern an den Raum der Schwartz-Funktion S.R/ aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen f W R ! C so dass für je zwei m; n 2 Z mit m; n  0 die Funktion x m f .n/ .x/ beschränkt ist. Für p < 1 definieren wir den Raum S.Qp / der Schwartz-Bruhat-Funktionen als den Raum aller Funktionen f auf Qp , die lokalkonstant sind und kompakten Träger haben. Lemma 5.4.3 Jede Funktion f 2 S.Qp / ist eine endliche Linearkombination von Funktionen der Form 1aCp k Zp , wobei a 2 Qp und k 2 Z. Beweis: Sei f 2 S.Qp /. Da f lokalkonstant ist, ist für jedes z 2 C das Urbild f 1 .z/ eine offene Menge in Qp . Damit ist f 1 .0/ offen und Qp X f 1 .0/ ist abgeschlossen und damit folgt Qp X f 1 .0/ D supp.f /, also ist diese Menge kompakt. Sie wird von den offenen Mengen f 1 .z/ mit z ¤ 0 überdeckt, nach Kompaktheit reichen endlich viele davon, also hat die Funktion f endliches Bild. Jede offene Menge f 1 .z/ mit z ¤ 0 ist eine disjunkte Vereinigung offener Bälle in Qp . Wegen Kompaktheit reichen endlich viele. Offene Bälle in Qp haben aber genau die Gestalt a C p k Zp wie oben. Damit folgt das Lemma.  Wir betrachten nun zunächst die Fourier-Transformation auf Qp für beliebiges p  1. Für eine Funktion f 2 S.Qp / sei Z O f .y/ep .xy/ dy f .x/ D Qp

die Fourier-Transformierte.

5.4 Fourier-Analysis auf A

133

Lemma 5.4.4 Sei f 2 S.Qp /. (a) Ist g.x/ D f .x/ep .ax/ mit a 2 Qp , dann folgt g.x/ O D fO.x  a/ . O D fO.x/ep .ax/ . (b) Ist g.x/ D f .x  a/ mit a 2 Qp , so folgt g.x/ 1 O x  (c) Ist g.x/ D f . x/ mit 2 Qp , so folgt g.x/ O D jj f ./ . 

Beweis: Dies sind einfache Konsequenzen der Definition.

Lemma 5.4.5 Sei K eine kompakte Gruppe mit Haar-Maß dx. Sei  W K ! T ein Charakter. Dann gilt ( Z vol.K/  D 1 ; .x/ dx D 0  ¤ 1: K

Beweis: Der Fall  D 1 ist klar. Im anderen Fall gibt es ein k0 2 K mit .k0 / ¤ 1. Dann ist Z Z Z .k0 / .x/ dx D .k0 x/ dx D .x/ dx : K

Da aber .k0 / ¤ 1, folgt

R K

K

K

.x/ dx D 0. Das Lemma ist bewiesen.



Satz 5.4.6 Ist p  1 und ist f 2 S.Qp /, so ist fO 2 S.Qp / und es gilt die Umkehrformel der Fourier-Transformation O fO.x/ D f .x/ :

Beweis: Sei zuerst p < 1 eine Primzahl. Wir betrachten die Funktion h D 1Zp und wir zeigen hO D h durch folgende Rechnung Z Z O h.y/ep .xy/ dy D ep .xy/ dy : h.x/ D Qp

Zp

Nun ist .y/ D ep .xy/ ein Charakter von Zp und genau dann trivial, wenn x 2 Zp also folgt hO D h nach Lemma 5.4.5. Wir führen die folgenden Operatoren auf S.Qp / ein a f .x/ D f .x/ep .ax/ ;

La f .x/ D f .x  a/;

M f .x/ D f . x/ ;

wobei a 2 Qp und 2 Qp . Die Aussagen von Lemma 5.4.4 lassen sich in der folgenden Form ausdrücken

1

a f D La fO;

b

La f D a fO;

1

M f D

1 M1= fO : j j

134

5 Adele und Idele

Wir zeigen zunächst, dass die Fourier-Transformation den Raum S.Qp / erhält. Nach Lemma 5.4.3 ist jedes f eine Linearkombination von Funktionen der Form f D 1aCpk Zp D La Mpk h: Dann folgt

3

fO D La Mpk h D a p k Mpk hO D a p k Mpk h : Also ist fO.x/ D ep .ax/1pk Zp .x/ . Da der Charakter ep lokalkonstant ist, ist diese Funktion wieder in S.Qp /. O Wir betrachten den Vektorraum A aller f 2 S.Qp / für die gilt fO.x/ D .x/. Wir haben bewiesen, dass h 2 A. Wir zeigen nun, dass die Funktion f D La Mpk h in A liegt:   OO O f D La Mpk h D La Mpk h D La Mpk hO D La Mpk h D 1aCpk Zp :

3

1

O Dies bedeutet gerade fO.x/ D f .x/. Wir haben die Umkehrformel für den padischen Fall p < 1 gezeigt. Für p D 1 ist die Umkehrformel bereits bekannt. 

5.4.2 Globale Fourieranalysis Q Sei Afin D bp 0. Dann liegt Ma f wieder in S.R/ und es gilt Ma f D a1 M1=a fO. 2

1

Beweis: (a) Dies wurde bereits im Beweis von Lemma 2.7.9 gezeigt. (b) Es ist klar, dass Ma f in S.R/ liegt. Wir substituieren v D ay in

1f .x/ D M

Z f .ay/e

a

R

2 ixy

1 dy D a

Z R

A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

f .v/e2 ixv=a dv D

1 O f .x=a/ : a

 139

140

6 Tate’s Thesis

2 Für t > 0 setze f t .x/ D e tx , so folgt fbt D p1t f1=t . Für t > 0 betrachten wir die Theta-Reihe: X 2 ‚.t/ D e t k :

k2Z

Aus der Poissonschen Summenformel folgt die Theta-Transformationsformel 1 ‚.t/ D p ‚.1=t/ : t Wir werden nun zeigen, wie diese Gleichung zu einem Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion 1 X 1 ; s n nD1

.s/ D

Re.s/ > 1

führt.

Q Satz 6.1.2 Die Funktion .s/ D .s/.s=2/ s=2, die für Re.s/ > 1 definiert ist, setzt zu einer meromorphen Funktion auf C fort, die einfache Pole in s D 0; 1 hat und ansonsten holomorph ist. Die Fortsetzung erfüllt die Funktionalgleichung: Q  s/ D .s/ Q : .1

Beweis: Wir rechnen 1 Z X

1

.s/.s=2/

s=2

D

s s=2

n t



s=2 t

nD1 0 1 Z X

e

s=2 1 Z1  X t dt dt et D 2 t n t nD1 0

1

D

t

s=2  t n2

e

nD1 0

1 dt D t 2

Z1 t s=2 .‚.t/  1/

dt t

0

Wobei die Vertauschung von Integration und Summenbildung durch die absolute Konvergenz gerechtfertigt ist. Sei 1 A.s/ D 2

Z1 t s=2 .‚.t/  1/

dt : t

1

Da ‚1 eine schnell fallende Funktion ist, konvergiert dieses Integral für alle Werte von s, definiert also eine ganze Funktion. Für das verbleibende Integral rechnen wir

6.2 Zeta-Funktionen adelisch

141

im Bereich Re.s/ > 1, indem wir t durch 1=t substituieren: 1 2

Z1 t

s=2

dt 1 .‚.t/  1/ D t 2

0

Z1 t

s=2

dt 1 1 ‚.t/  D t s 2

0

D

1 2

Z1

Z1

t s=2 ‚.1=t/

dt 1  t s

1

p dt 1 t s=2 t‚.t/  t s

1

D

1 2

Z1

t .s1/=2 ‚.t/

dt 1  t s

1

D

1 2

Z1

t .s1/=2 .‚.t/  1/

dt 1 1   t s 1s

1

D A.1  s/ 

1 1  : s 1s 

Die Behauptung folgt.

6.2 Zeta-Funktionen adelisch Wir wollen nun dasselbe Spiel in der adelischen Welt ausführen. Die Rolle der Theta-Reihe sollen die Summen E.f / spielen, die jetzt definiert werden. Für f 2 S.A/ sei X f .qx/ ; x 2 A : E.f /.x/ D q2Q

P Aus technischen Gründen betrachten wir auch die Summe E.jf j/.x/ q2Q jf .qx/j.

D

Lemma 6.2.1 Die Summen E.f / und E.jf j/ konvergieren lokal-gleichmäßig, definiert also eine stetige Funktion auf A =Q . Diese Funktionen sind schnell-fallend in dem Sinne, dass es für jedes N 2 N ein CN > 0 gibt mit jE.f /.x/j  E.jf j/.x/  CN jxjN Es gilt E.f /.x/ D

für jxj  1 :

    1 1 E.fO/ C fO.0/  f .0/ : jxj x

Beweis: Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass die Funktion f von der Form f .x/ D 1R .xfin /f1 .x1 / ist, wobei R ein einfaches Rechteck ist und f1 2 S.R/. Wie im Beweis der Poissonschen Summenformel können wir ferner

142

6 Tate’s Thesis

annehmen, dass R eine Teilmenge von b Z ist. Da f1 2 S.R/, gibt es ein C > 0 so dass jf1 .x/j  C.1 C jxj/2 für x 2 R gilt. Wir schätzen zunächst einmal ab: 2 X  X 1 jf .qx/j  C : 1 C jqx1 j1   q2Q

q2Q

qxfin 2b Z

Sei q0 2 Q . Wir beweisen gleichmäßige Konvergenz in einer Menge der Form q0 b Z  U mit einer kompakten Teilmenge U von R . Ist x in dieser Menge, so gilt qxfin 2 b Z , q 2 q01 Z. Es folgt  2 X X 1 jf .qx/j  C : 1 C jqx1 j1  1 q2Q

q2q0 ZXf0g

Da die rechte Seite lokal gleichmäßig in x1 konvergiert, folgt die Konvergenz. Wir beweisen nun die Wachstumsabschätzung. Ist nun x 2 A mit 1  jxj D jxfin jjx1 j und ist f .x/ ¤ 0, so folgt jxfin j  1 und damit jx1 j  1. Sei N 2 N, N  2 gegeben. Da f1 2 S.R/, gibt es ein CN > 0 so dass jf1 .x1 /j  CN jx1 jN gilt für jx1 j  jq0 j1 , x1 2 R. Dann ist X X X jf .qx/j  CN jq0 kx1 jN D CN jx1 jN jq0 kjN 1 : q2Q

k2Z

Nun ist

k2Z

jx1 jN D jxfin jN jxjN  jxjN ;

woraus die Abschätzung von E.f /.x/ folgt. Zum Beweis der Funktionalgleichung wollen wir schließlich die Poissonsche Summenformel anwenden. Sei fx .a/ D f .ax/ mit x 2 A . Dann folgt Z c fx .y/ D fx .z/e.zy/ dz D jxj1 fO.y=x/ : A

Daraus folgt X

1 X O f .q=x/  f .0/ jxj q2Q q2Q  1  E.fO/.1=x/ C fO.0/  f .0/ : D jxj

E.f /.x/ D

f .qx/  f .0/ D

Damit ist das Lemma vollständig bewiesen. Für f 2 S.A/ definiere das Zeta-Integral von f durch Z .f; s/ D f .x/ jxjs d x : A



6.2 Zeta-Funktionen adelisch

143

  Hierbei ist das Haar-Maß d x auf A D A fin  R gewählt als das Produkt d xfin  dt mit der Normierung d xfin .b Z / D 1. t

Satz 6.2.2 Es gilt Z

E.f /.x/ jxjs d x :

.f; s/ D A =Q

Das Integral .f; s/ konvergiert lokal-gleichmäßig für Re.s/ > 1 und definiert dort eine holomorphe Funktion, die zu einer meromorphen Funktion auf ganz C fortsetzt. Diese Funktion ist holomorph bis auf (höchstens) einfache Pole in s D 0; 1 mit den Residuen f .0/ und fO.0/. Das Zeta-Integral erfüllt die Funktionalgleichung .f; s/ D .fO; 1  s/ :

Beweis: Wir beweisen zunächst die Konvergenz für Re.s/ > 1. Hierzu ersetzen wir f durch jf j und schätzen diese Funktion weiter ab gegen ein skalares Vielfaches von 1n1b .x /.1 C jxjN /1 , wobei n; N 2 N mit N > Re.s/. Die KonZ fin R 11 t s1 R vergenz folgt, da einerseits 0 1Ct N dt < 1 und andererseits n1b jxjs d x D Z R ns b jxjs d < 1 nach Proposition 5.3.4. Diese Abschätzungen gelten lokal Z gleichmäßig in Re.s/ > 1, womit die Konvergenz bewiesen ist. Sei F D b Z  .0; 1/. Dann ist nach Satz 5.3.3 die Menge F ein Vertretersystem   von A =Q . Da wir absolute Konvergenz haben, können wir für Re.s/ > 1 rechnen Z X Z .f; s/ D f .x/ jxjs d x D f .x/ jxjs d x q2QqF

A

D

X Z

f .qx/ jqxjs d x D

q2Q F

Z

E.f /.x/ jxjs d x :

A =Q

1  Da f1g eine Nullmenge in R in A =Q . DaC ist, ist A =Q also R eine R Nullmenge R her können wir das Zeta-Integral zerlegen in D jxj>1 C jxj 0 so dass jf1 .x1 /j  CN jx1 jN gilt für jx1 j  jq0 j1 , x1 2 R. Für beliebiges N 2 N schätzen wir ab

Z jxj>1

E.jf j/.x/ jxjRe.s/ d x  CN

Z

x2A =Q jxj>1

jxjRe.s/N d x D CN

Z1 t Re.s/N

dt : t

1

Die rechte Seite R ist endlich für Re.s/ < N  1. Da dies für jedes N gilt, konvergiert das Integral jxj>1 für jedes s und definiert eine ganze Funktion in s.

144

6 Tate’s Thesis

R

Für das Integral jxj 1 und setzt  so zu einer multiplikativen Funktion nach Z fort. Die zugehörige Dirichlet L-Reihe ist L.; s/ D

1 X .n/ nD1

ns

:

6.3 Dirichlet L-Funktionen

147

Diese Reihe konvergiert absolut für Re.s/ > 1, da j.n/j  1. Auf Grund der Multiplikativität von  kann man L.; s/ in ein Euler-Produkt: L.; s/ D

Y p

1 1  .p/p s

entwickeln. Lemma 6.3.2 Der Isomorphismus A1 =Q Š

Y

Zp Š lim .Z=N Z/

p

N 2N

induziert eine Bijektion zwischen der Menge aller Charaktere der Gruppe A1 =Q und der Menge aller primitiven Dirichlet-Charaktere wie folgt: Ist  ein primitiver Charakter modulo N0 , so liefert  via Proj



A1 =Q Š lim .Z=N Z/ ! .Z=N0 Z/ ! T N 2N

einen Charakter ./ von A1 =Q . Beweis: Wir zeigen, dass  eine Bijektion von der Menge der primitiven DirichletCharaktere in die Menge der Charaktere von A1 =Q ist. Für die Injektivität nimm an ./ D .0 /. Sei N1 die kleinste natürliche Zahl so dass ./ über .Z=N1 Z/ faktorisiert. Da  primitiv ist, folgt N1 D N0 und damit ist N0 durch ./ D .0 / eindeutig festgelegt, also ist auch 0 ein Dirichlet-Charakter modulo N0 und es folgt  D 0 . Für die Surjektivität sei Q ein Charakter von A1 =Q. Für ein gegebenes N 2 N sei UN die Menge aller x 2 Qp Zp mit xp  1 mod N für jedes p. Die UN bilden eine Einsumgebungsbasis in p Zp , daher gibt es ein N so dass UN im Kern von  liegt. Sei N minimal mit dieser Eigenschaft. Dann faktorisiert  über .Z=N Z/ und aus der Minimalität von N folgt, dass  über einen primitiven Dirichlet-Charakter faktorisiert.  Weiter kann man über den Isomorphismus A =Q Š A1 =Q  .0; 1/ die Menge aller Charaktere von A1 =Q identifizieren mit der Menge aller Charaktere von A =Q, die endliches Bild haben.  Sei  ein Charakter von A =Q. Wir fassen  als Charakter von A D A fin R auf und schreiben dementsprechend:  D fin 1 .

148

6 Tate’s Thesis

Definition 6.3.3 Sei  ein Charakter von A =Q mit endlichem Bild und sei f 2 S.A/. Dann definiere Z .f; ; s/ D f .x/.x/jxjs d x : A

Analog zu Satz 6.2.2 beweist man Z .f; ; s/ D

E.f /.x/.x/jxjs d x ;

A =Q

falls das Integral .f; ; s/ konvergiert. Für den trivialen Charakter  D 1 gilt .f; 1; s/ D .f; s/: Dieser Fall ist also schon behandelt. Satz 6.3.4 Sei  ¤ 1 ein Charakter von A =Q mit endlichem Bild und Führer N 2 N. Das Integral .f; ; s/ konvergiert lokal gleichmäßig für Re.s/ > 1 und definiert eine holomorphe Funktion, die zu einer ganzen Funktion auf C fortsetzt. Es gilt .f; ; s/ D .fO; ; 1  s/ : Es gibt ein f mit .f; ; s/ D L1 .; s/L.; s/ ; 

wobei L1 .; s/ D 

sC 2





sC 2

und  2 f0; 1g definiert ist durch fin .1/ D 1 .1/ D .1/ . Q Mit L.; s/ D L1 .; s/L.; s/ folgt Q  s; / ; Q L.; s/ D .i / N s .; e/L.1 R  wobei .; e/ D .N / 1 b  .x/e.x/ d x und .N / die Eulersche NZ p Funktion ist. Es folgt j .; e/j D N . Beweis: Wenn wir die Funktionalgleichung bewiesen haben, folgt durch zweimalige Anwendung derselben die Gleichung j .; e/ .; e/j D N . Es ist nun Z Z  .; e/ D .N / .x/e.x/ d x D .N / ..1/x/e.x/ d x 1 N

b Z

Z

D .1/.N / 1 N

1 N

b Z

.x/e.x/ d x D .1/ .; e/ :

b Z

Damit haben p .; e/ und .; e/ denselben Absolutbetrag und die Gleichheit j .; e/j D N ist bewiesen.

6.3 Dirichlet L-Funktionen

149

Für die anderen Aussagen vollziehen wir den Beweis aus dem Fall  D 1, also von Satz 6.2.2 nach. Es klappt alles gut bis zur Stelle Z

E.f /.x/.x/ jxjs d x D

jxj jd jg und fjcj  jd jg und damit insgesamt stetig. Ein Quasicharakter  der Gruppe Ap heißt unverzweigt, falls er trivial ist auf  Ap \ Kp . Dies ist genau dann der Fall, wenn es 1 ; 2 2 C gibt mit  a1 a2 D ja1 j1 ja2 j2 . Wir zeigen nun die Unimodularität. Sei  W Gp ! R C die Modularfunktion von Gp . Wir zeigen, dass  trivial ist. Zunächst gilt .Kp / D 1, da Kp kompakt ist. Daher ist  eingeschränkt Quasicharakter.  auf A   p ein unverzweigter  Es existieren also 1 ; 2 2 C mit  a1 a2 D ja1 j1 ja2 j2 . Sei w D 1 1 2 Gp , dann vertauscht die Konjugation mit w die Einträge a1 und a2 . Wegen .waw 1 / D .a/ folgt daher 1 D 2 . Schreiben wir  2 C für diese Zahl. Nach Definition muss  auf dem Zentrum von Gp trivial sein, also folgt 1 D 



 a

D jaj2 :

a

 Damit folgt dass p 2 D 1 ist. Da   0, folgt  durch Wurzelziehen, dass p D 1 und damit ist .Ap / D 1. Ist n D 1 x1 2 Np , so gibt es ein k 2 N so k

k

k

k

dass np D 1 p 1 x 2 Kp ist. Damit ist 1 D .np / D .n/p und da   0 ist, folgt .n/ D 1. Nach der Iwasawa-Zerlegung ergibt sich also .Gp / D .Ap /.Np /.Kp / D 1, die Gruppe Gp ist also unimodular. Da der Raum der stetigen Funktionen C.Lp nKp / dicht in L1 .Kp / liegt, reicht es, die letzte Formel für f 2 C.Lp nKp / zu zeigen. WähleReine unter Lp beidseitig invariante Funktion  2 Cc .Ap Np / so dass   0 und Ap Np .an/ dadn D 1. Setze g.x/ D .an.x//f .k.x//. Dann ist g 2 Cc .G/ und Z

Z g.x/ dx D

Gp

Z f .k/ dk D

.an/ dan Ap Np

Z

Kp

f .k/ dk : Kp

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

160

Andererseits, da Gp unimodular ist, ist das Integral auch Z

Z g.xy/ dx D Gp

.an.xy//f .k.xy// dx Gp

Z

Z

D

.an.anky//f .k.ky// dk da dn Ap Np Kp

Z D Kp

Z D Kp

Z D

0 B @

Z

1 C .an.anky// danA f .k.ky// dk

Ap Np

0 B @

Z

1 C .anan.ky// danA f .k.ky// dk

Ap Np

0 B a.ky/ı @

Kp

Z

1 C .an/ danA f .k.ky// dk

Ap Np

Z D

a.ky/ı f .k.ky// dk : Kp

Damit ist die Proposition vollständig bewiesen.



Sei V der Raum aller messbaren Funktionen ' W Gp ! C mit • R'.anx/ D aCı=2 '.x/, a 2 Ap , n 2 Np , x 2 Gp und • Kp j'.k/j2 dk < 1. Wir identifizieren zwei Funktionen, wenn sie sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden und erhalten einen Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt Z def

h'; i D

'.k/ .k/ dk : Kp

Die Darstellung  von Gp auf dem Raum V wird definiert als  .y/'.x/ def D '.xy/ ; also durch die Rechtstranslation.

7.1 Hauptserien

161

Satz 7.1.3 Die Abbildung  ist eine Darstellung der Gruppe Gp auf dem Hilbert-Raum V . Sie ist genau dann unitär, wenn  ein Charakter ist, also wenn a 2 T für jedes a 2 Ap gilt. Die Einschränkung auf die kompakte offene Untergruppe Kp ist unitär. Diese Darstellungen heißen die Hauptserien-Darstellungen von Gp .

Beachte, dass a genau dann in T liegt, wenn aC D 1 ist. Beweis: Als erstes ist zu zeigen, dass  .y/' tatsächlich wieder in V liegt, wenn ' 2 V ist. Die erste Eigenschaft ist klar, denn  .y/'.anx/ D '.anxy/ D aCı=2 '.xy/ D aCı=2  .y/'.x/ : R Die zweite Eigenschaft ist subtiler. Wir müssen zeigen jj .y/'jj2 D Kp  j'.ky/j2 dk < 1: In dem folgenden Lemma zeigen wir eine viel schärfere Aussage. Lemma 7.1.4 Ist U  G eine kompakte Teilmenge, so gibt es ein C > 0 so dass für jedes y 2 U und jedes ' 2 V gilt jj .y/'jj  C jj'jj : Beweis: Es gilt '.ky/ D a.ky/Cı=2 '.k.ky// und wir schließen Z

Z j'.ky/j2 dk D Kp

a.ky/CCı j'.k.ky//j2 dk : Kp

Die stetige Funktion .y; k/ 7! a.ky/C ist auf dem Kompaktum U  Kp beschränkt, also gibt es ein C > 0 mit ja.ky/C j  C2 für alle y 2 U und alle k 2 Kp . Mit Proposition 7.1.2 erhalten wir Z jj .y/'jj2  C2

Z a.ky/ı j'.k.ky//j2 dk D C2

Kp

Das Lemma ist gezeigt.

j'.k/j2 dk D C2 jj'jj2 :

Kp



Weiter müssen wir zeigen, dass die Abbildung Gp  V ! V , gegeben durch .g; '/ 7!  .g/', stetig ist. Sei also yn ! y eine konvergente Folge in Gp und 'n ! ' eine konvergente Folge in V . Wir müssen zeigen, dass die Folge  .yn /'n in V gegen  .y/' konvergiert. Die Menge U D fyn W n 2 Ng [ fyg

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

162

ist kompakt in Gp , sei C > 0 die Konstante aus dem Lemma zu diesem U . Es gilt dann jj .yn /'n   .y/'jj  jj .yn /'n   .yn /'jj C jj .yn /'   .y/'jj  C jj'n  'jj C jj .yn /'   .y/'jj : „ ƒ‚ … !0

Der erste Summend geht gegen Null, wenn n ! 1. Wir betrachten das Quadrat des zweiten Summanden: Z j'.kyn /  '.ky/j2 dk : jj .yn /'   .y/'jj2 D Kp

Wir nehmen zunächst an, dass die Funktion ' auf Kp beschränkt ist. Dann ist sie auch auf KU beschränkt, sagen wir durch eine Konstante D > 0. Dann ist j'.kyn /  '.ky/j2  4D2 und die konstante Funktion 4D2 ist auf dem Kompaktum Kp integrabel, also kann R man nach dem Satz der Majorisierten Konvergenz schließen, dass das Integral Kp j'.kyn /  '.ky/j2 dk für n ! 1 gegen Null geht. Ist die Funktion  nicht beschränkt auf Kp , so ist sie doch quadrat-integrierbar und daher gibt es zu gegebenem " > 0 eine auf Kp beschränkte Funktion 2 V so dass jj'  jj < "=4C. Es existiert ferner ein n0 , so dass für alle n  n0 gilt jj .yn /   .y/ jj < "=2. Dann ist für jedes n  n0 , jj .yn /'   .y/'jj  jj .yn /'   .yn / jj C jj .yn / C jj .y/   .y/'jj  2C jj' 

jj C jj .yn /

  .y/ jj

  .y/ jj
0. Dann existiert ein ı > 0 so dass aus d.x; y/ < ı folgt jgj .x/  gj .y/j < "=3 für jedes j 2 N. Da die Folge der xn dicht ist, gibt es ein n 2 N so dass d.xn ; x/ < ı und es existiert ein j0 so dass für j  j0 gilt jgj .xn /  g.xn /j < "=6. Al-

7.4 Spitzenformen

177

so folgt für i; j  j0 schon jgi .xn /  gj .xn /j < "=3. Sind dann i; j  j0 , so folgt jgi .x/  gj .x/j  jgi .x/  gi .xn /j C jgi .xn /  gj .xn /j C jgj .xn /  gj .x/j
0. Da .eF / stetig ist, existiert ein C > 0 so dass jj.eF /wjj  C jjwjj für jedes w 2 V richtig ist. Da die Abbildung G  V ! V ; .g; v/ 7! .g/v stetig ist, existiert eine Umgebung U der Eins in G, so dass x 2 U ) jj.x/v  vjj < "=C . Sei nun R f 2 Cc .G/ mit Träger in U so dass f  0 ist und G f .x/ dx D 1 gilt. Dann folgt ˇˇ ˇˇ ˇˇ Z ˇˇZ ˇˇ ˇˇ ˇ ˇ jj.f /v  vjj D ˇˇ f .x/..x/v  v/ dx ˇˇˇˇ  f .x/ jj.x/v  vjj dx < "=C : ˇˇ ˇˇ G

G

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

194

Es gilt eF f eF 2 CF  H und es gilt jj.eF f eF /v  vjj D jj.eF /..f /v  v/jj < " : Wir beweisen schließlich (c). Die Abgeschlossenheit unter * ist klar. Sei  eine unitäre G-Darstellung, dann gilt für f 2 H, Z Z  1 1 .f / D .x /f .x /.x/ dx D f .x/.x 1 / dx G

Z D G

0 f .x/.x/ dx D @

G

Z

1

f .x/.x/ dx A

D .f / :

G

Sind  und  0 als G-Darstellungen isomorph, so auch als H-Darstellungen. Sei umgekehrt T W V ! V 0 ein unitärer H-Isomorphismus, also gilt T .f / D  0 .f /T für jedes f 2 H. Wir stellen zunächst fest, dass dies schon für f 2 Cc .G/ gilt. O Hierzu sei S D T .f /   0 .f /T , dann ist für jede endliche Teilmenge F von K,  0 .eF /S.eF / D T .eF f eF /   0 .eF f eF /T D 0 : „ ƒ‚ … 2H

Es folgt, dass S v D 0 für jeden Vektor v 2 V .F / und da die V .F / einen dichten Teilraum von V aufspannen, gilt S D 0, also T .f / D  0 .f /T gilt für jedes f 2 Cc .G/. Sei " > 0 und seien x 2 G und v 2 V , dann existiert wegen der Stetigkeit der Darstellungen  und  0 eine Umgebung U von x 2 G so dass jj.u/v  .x/vjj < "=2 und jj 0 .u/TR v   0 .x/T vjj < "=2. Sei f 2 Cc .G/ mit Träger in U und so dass f  0 und G f .x/ dx D 1. Da T unitär ist, gilt jjT .f /v  T .x/vjj D jj.f /v  .x/vjj ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇZ Z ˇˇ ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ f .u/ jj.u/v  .x/vjj du < "=2 D ˇˇ f .u/..u/v  .x/v/ duˇˇ  ˇˇ ˇˇ G

G

und ebenso jjT .f /v   0 .x/T vjj D jj 0 .f /T v   0 .x/T vjj < "=2. Hieraus folgt jjT .x/v   0 .x/T vjj < ". Da " > 0 und v 2 V beliebig sind, ist also T .x/ D  0 .x/T . 

2

Satz 7.5.26 Seien G und H lokalkompakte Gruppen und K; L kompakte Unb L ! G  H KL gegeben durch bK  H tergruppen. Dann ist die Abbildung G .; / 7!  ˝  eine Bijektion.

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

195

Beweis: Die Injektivität folgt aus Lemma 7.5.9. Das Problem ist die Surjektivität. Ist .; V / eine irreduzible unitäre Darstellung von G, so definiert jedes f 2 Cc .G/ einen stetigen Operator auf V . Ist 0 ¤ v 2 V , so ist .Cc .G//v ein Gstabiler Unterraum von V . Da  irreduzibel ist, muss .H/v ein dichter Unterraum sein. Lemma 7.5.27 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und K  G eine kompakte Untergruppe. G. Sei F eine endliche Teilmenge (a) Sei .; V / eine irreduzible Darstellung vonL O Dann ist der F -Isotyp V .F / D von K. 2F V ./ ein irreduzibler CF Modul. Insbesondere ist .H/V ein irreduzibler H-Modul. Ist V .F / endlichdimensional über C, so ist V .F / ein regulärer CF -Modul. (b) Ist .; V / eine unitäre Darstellung von G und ist F eine endliche TeilmenO Ist M ein endlich-dimensionaler irreduzibler CF -Untermodul von ge von K. V .F /, so ist die von M erzeugte G-Unterdarstellung von  irreduzibel. (c) Sind ;  irreduzible unitäre Darstellungen, die K-zulässig sind, so folgt  Š  , V .F / Š V .F / für jedes F 2 IK ; wobei rechts die Isomorphie als CF -Moduln gemeint ist. Beweis: (a) Um die Irreduzibilität von V .F / zu zeigen, sei 0 ¤ U  V .F / ein abgeschlossener Untermodul. Da V irreduzibel ist, ist .Cc .G//U dicht in V . Sei PF W V ! V .F / die isotypische Projektion. Für h 2 C.K/ schreiben wir auch Z .h/ D h.k/.k/ dk : K

Es gilt dann PF D .eF /. Sei f 2 Cc .G/, dann gilt .f /.e / D .f e /

und .e /.f / D .e f / ;

wie man leicht nachrechnet. Da die Projektion PF stetig ist, liegt der Raum PF .Cc .G/U / dicht in V .F /, also ist PF .Cc .G/U / D V .F /. Nun ist aber PF D .eF /, also ist V .F / D PF .Cc .G/U / D .eF /Cc .G/U D .eF Cc .G/ eF /U D .CF /U D U D U ; und damit ist V .F / in der Tat irreduzibel. Nun sei V .F / endlich-dimensional. Wir haben gerade gezeigt, dass .CF /V .F / dicht in V .F / liegt. Da dieser Raum endlich-dimensional ist, ist sein einziger dichter Unterraum schon er selbst, also folgt .CF /V .F / D V .F /, also ist V .F / regulär.

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

196

(b) Wir benutzen folgendes Prinzip. Ist M ein Modul einer C-Algebra A und ist m0 2 M ein Element, so ist der Annullator AnnA .m0 / def D fa 2 A W am0 D 0g ein Linksideal in A und die Abbildung a 7! am0 induziert einen Modulisomorphismus A= AnnA .m0 / ! Am0 : Ist insbesondere M endlich-dimensional über C und irreduzibel, so folgt M D Am0 , also M Š A=J mit J D AnnA .m0 /. Nun sei M ein endlich-dimensionaler irreduzibler CF -Untermodul von V .F /. Wir können M ¤ 0 annehmen. Sei U der von M erzeugte G-stabile abgeschlossene Unterraum von V . Wir zeigen dass PF .U / D M ist, wobei PF D .eF / die Orthogonalprojektion auf den F -Isotyp ist. Hierzu sei v0 ¤ 0 ein Vektor in M und sei J D AnnCF .v0 /. Dann ist J ein Linksideal und die Abbildung a 7! av0 ist ein Š

Modul-Isomorphismus CF =J ! M , da M endlich-dimensional ist. Behauptung: Sei J der Annullator AnnCc .G/ .v0 / von v0 in Cc .G/. Dann gilt J D J eF ˚ AnnCc .G/ .eF / ; wobei AnnCc .G/ .eF / der Annullator von eF in Cc .G/ ist, also die Menge aller f 2 Cc .G/ mit f eF D 0. Wir beweisen die Behauptung. Zunächst ist klar, dass J eF  AnnCc .G/ .v0 / D J . Ferner ist v0 D eF v0 und damit folgt auch AnnCc .G/ .eF /  AnnCc .G/ .v0 / D J . Es bleibt zu zeigen, dass J in der rechten Seite liegt. Da eF ein Idempotent ist, ist Cc .G/ D Cc .G/eF ˚ AnnCc .G/ .eF /, denn jedes f 2 Cc .G/ lässt sich schreiben als f D f eF C .f  f eF / und f  f eF liegt im Annullator von eF . Ferner ist AnnCc .G/ .eF /  AnnCc .G/ .v0 / D J und damit folgt die Behauptung. Es folgt hiermit Cc .G/v0 Š Cc .G/=J Š Cc .G/eF =.J eF / : Damit ist PF .Cc .G/v0 / Š eF Cc .G/eF =.J eF / Š CF =J Š M : Hieraus folgt PF .U / D M . Ist nun U 0 eine Unterdarstellung von U , so ist PF .U 0 / D 0 oder M . Im ersten Fall ist M  .U 0 /? und also U  .U 0 /? , da der Raum .U 0 /? eine Unterdarstellung ist. Hieraus folgt aber U 0 D 0. Im anderen Fall ist M  U 0 und damit U 0 D U . In der Tat ist also U irreduzibel. (c) Sind .; V /; .; V / isomorphe Darstellungen, so sind auch die CF -Moduln V .F / und V .F / isomorph. Sei umgekehrt für jedes F ein CF -Isomorphismus F W V .F / ! V .F / gegeben. Nach dem Lemma von Schur unterscheiden sich für gegebenes F zwei Isomorphismen V .F / ! V .F / nur um ein Skalar, also

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

197

können wir die Isomorphismen so normieren, dass sie einander fortsetzen, dass also gilt F D F 0 jV .F / , falls F  F 0 . Dann kann man die F zusammensetzen zu einem H-Isomorphismus Š

 W .H/V ! .H/V : Beide Seiten sind dichte Unterräume. Wenn wir zeigen können, dass  isometrisch ist, setzt diese Abbildung nach Lemma 7.5.25 zu einem Isomorphismus von GDarstellungen fort. Sei 0 ¤ v0 2 .H/V und sei w0 D .v0 /. Wir können annehmen, dass jjv0 jj D jjw0 jj D 1 und wir behaupten, dass  dann isometrisch sein muss. Hierzu transportieren wir via  beide Skalarprodukte auf dieselbe Seite, wir haben also, sagen wir, auf .H/V zwei Skalarprodukte h:; :i1 und h:; :i2 so dass v0 in beiden die Norm 1 hat und die Operation von H ist in beiden eine -Operation. Auf dem endlich-dimensionalen Raum .CF /V müssen die Skalarprodukte aber nach dem Lemma von Schur übereinstimmen. Da dies für jedes F 2 IK gilt, ist  ist wirklich isometrisch.  Seien nun G; H lokalkompakt mit kompakten Untergruppen K  G und L  H . Sei E eine endliche Teilmenge von KO und F eine endliche Teilmenge O Es gibt einen natürlichen Homomorphismus von L. W Cc .G/ ˝ Cc .H / ! Gc .G  H / gegeben durch .f ˝ g/.x; y/ D f .x/g.y/ : Dies induziert einen Homomorphismus CE ˝ CF ! CE F : Diese Abbildung ist in der Regel nicht surjektiv, aber für unsere Zwecke spielt das keine Rolle, denn es gilt Lemma 7.5.28 Ist M ein endlich-dimensionaler irreduzibler CE F -*-Untermodul einer unitären G-Darstellung, dann ist er schon irreduzibel und regulär als CE ˝ CF -Modul. Beweis: Wir versehen CE F  L1 .G  H / mit der Topologie der L1 -Norm. Dann liegt CE ˝ CF dicht in CE F , wie man leicht aus der Tatsache folgert, dass Cc .G/ in L1 .G/ dicht liegt. Die Darstellung  W CE F ! EndC .M / ist eine stetige Abbildung, da M von einer unitären Darstellung von G  H kommt. Also liegt das Bild von CE ˝ CF dicht in dem (endlich-dimensionalen) Bild von CE F in End.M /, die Bilder sind also gleich.  Um Satz 7.5.26 zu beweisen, brauchen wir demnach nur noch die zweite Aussage des folgenden Lemmas:

198

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

Lemma 7.5.29 (a) Sei A eine C-Algebra und M ein einfacher regulärer A-Modul, der endlich-dimensional über C ist. Dann ist die Abbildung A ! EndC .M / surjektiv. (b) Seien A; B Algebren über C und sei R D A ˝ B. Sind M; N einfache reguläre Moduln unter A bzw. B, die endlich-dimensional über C sind, dann ist M ˝ N ein einfacher regulärer R-Modul und jeder einfache reguläre R-Modul, der endlich-dimensional über C ist, ist von dieser Form für eindeutig bestimmte M und N . Beweis: Teil (a) ist ein wohlbekannter Satz von Wedderburn, ein Beweis findet sich z. B. in Langs Buch über Algebra [24]. Allerdings ist dort vorausgesetzt, dass die Algebra A ein Einselement besitzt, was wir durch die schwächere Voraussetzung der Regularität von M ersetzt haben. Wir müssen also zeigen, wie man (a) aus der entprechenden Aussage für Algebren mit Eins folgert. Dies ist eine interessante Technik, die sich Adjunktion einer Eins nennt. Wir versehen den Vektorraum B D A  C mit dem Produkt .a; z/.b; w/ D .ab C zb C wa; zw/ : Dann ist B eine Algebra mit Einselement .0; 1/, die A als zweiseitiges Ideal enthält. Man sagt, dass B aus A durch Adjunktion einer Eins entsteht. Jeder A-Modul M wird zu einem B-Modul, indem man .a; z/m D am C zm setzt. Ist nun A0  EndC .M / das Bild von A und B 0  EndC .M / das Bild von B, so gilt nach dem Satz von Wedderburn, wie er in Langs Buch steht, dass B 0 D EndC .M / ist. Betrachte zunächst den Fall, dass dimC .M / D 1 ist. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: entweder ist A0 D 0 oder A0 D EndC .M / D CIdM . Die erste Möglichkeit ist durch die Regularität ausgeschlossen, also folgt A0 D EndC .M /. Sei nun dimC .M /  2. Angenommen, A0 ¤ EndC .M / D B 0 . Dann ist A0 ein zweiseitiges Ideal in B 0 , das nicht das Nullideal ist. Die Algebra EndC .M / Š Mn .C/ mit n D dimC .M / hat aber keine zweiseitigen Ideale außer den trivialen 0 und Mn .C/ (Aufgabe 7.2). Wegen der Regularität ist wieder A0 ¤ 0, also folgt A0 D B 0 D EndC .M / wie behauptet. Zu Teil (b). Nach (a) reicht es, die erste Aussage für den Fall A D EndC .M / und B D EndC .N / zu zeigen. Die kanonische Abbildung von der Algebra EndC .M / ˝ EndC .N / nach EndC .M ˝ N / ist aber surjektiv und damit ist M ˝ N einfach. Sei nun ein C-endlich-dimensionaler einfacher A ˝ B-Modul V gegeben. Dann enthält V einen einfachen A-Modul M , da V endlich-dimensional ist. Sei N D HomA .M; V /. Dieser Vektorraum ist in offensichtlicher Weise ein B-Modul. Betrachte die Abbildung  W M ˝ N ! V gegeben durch .m ˝ ˛/ D ˛.m/ : Dann ist  ¤ 0 ein A ˝ B-Homomorphismus, also surjektiv, da V einfach ist. Wir müssen nun zeigen, dass  keinen nichttrivialen Kern hat. Sei hierzu ˛1 ; : : : ; ˛k eine Basis von N und m1 ; : : : ; ml eine Basis von M . Seien ci;j 2 C gegeben mit

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

199



P

 i;j ci;j mi ˝ ˛j D 0. Wir müssen zeigen, dass aller Koeffizienten ci;j gleich Null sind. Es ist 1 0 ! X X X X A @ ci;j mi ˝ ˛j D ci;j ˛j .mi / D ˛j ci;j mi : 0 D  i;j

i;j

j

i

Sei P W M ! M eine Projektion auf einen eindimensionalen Unterraum, sagen wir Cm0 . Nach Teil (a) existiert ein a 2 A mit am D P m für jedes m 2 M . Es folgt !! X X X 0 D ˛j P ci;j mi j ˛j .m0 / ; D j

wobei P

P i

ci;j mi



i

j

D j m0 . Ist nun a 2 A beliebig, so folgt 0 D

X

j ˛j .am0 / :

j

Nun durchläuft am0 aber ganz M , wenn a in A läuft, also ist X j ˛j D 0 : j

Wegen derPlinearen Unabhängigkeit der ˛j sind alle j D 0. Damit sind dann aber auch alle i ci;j mi D 0 und wegen linearer Unabhängigkeit alle ci;j D 0. Der Beweis zeigt außerdem, dass alle einfachen A-Untermoduln von V isomorph sind, was die Eindeutigkeit liefert.  Wir beweisen nun den Satz 7.5.26. Sei  eine K  L-zulässige irreduzible Darstellung von G  H . Sei E eine endliche Teilmenge von KO und F eine endliO Dann ist nach Lemma 7.5.28 ist V .E  F / ein endlichche Teilmenge von L. dimensionaler irreduzibler regulärer CE ˝ CF -Modul und nach Lemma 7.5.29 ist V .E  F / ein Tensorprodukt von Moduln, das wir als V .E/ ˝ V .F / schreiben. Die Eindeutigkeit der Tensorfaktoren stiftet uns injektive Homomorphismen E0 'E W V .E/ ! V .E 0 / wenn E  E 0 und ebenso für F . Die Eindeutigkeit der Skalarprodukte nach dem Schurschen Lemma erlaubt es uns, diese Homomorphismen so zu skalieren, dass sie isometrisch sind. Wir definieren dann V .E/ : VQ def D lim ! Dann ist VQ ein Prä-Hilbert-Raum und wir schreiben V für seine Komplettierung. Ebenso konstruieren wir V . Für jede endliche Teilmenge E  KO operiert die Algebra CE auf VQ und zwar durch stetige Operatoren. Diese setzen sich also stetig nach V fort und man erhält eine *-Darstellung der Hecke-Algebra HG und ebenso

200

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

für V . Nach Konstruktion sind die Isotypen von V genau die Räume V .E/ für E 2 IK . Die isometrischen Abbildungen V .E/ ˝ V .F / ,! V setzen sich zusammen zu einem isometrischen HG ˝ HH -Homomorphismus ˆ W V ˝ V ! V , der wegen der Irreduzibilität von  ein Isomorphismus sein muss. Wir müssen jetzt noch eine unitäre Darstellung der Gruppe G  H auf V ˝ V installieren, also zuerst eine Darstellung  von G auf V . Fixiere einen beliebigen Vektor w 2 V ˆ

mit jjwjj D 1, so liefert die Abbildung V ! V ˝ w ! V eine isometrische Einbettung von V nach V , die mit der HG -Operation vertauscht. Die GDarstellung auf V definiert dann eine unitäre G-Darstellung auf V , die die HG Darstellung induziert. Dasselbe machen wir mit H und erhalten irreduzible unitäre Darstellungen  und  von G und H so dass ˆ ein G  H -Isomorphismus ist.  Nun beweisen wir Satz 7.5.20. Ist S eine endliche Stellenmenge, so folgt Satz 7.5.20 direkt aus Satz 7.5.26. Ebenso kann man die unendliche Stelle aus S herausnehmen. Sei also S unendlich und 1 … S . Sei .; V / eine irreduzible unitäre Q zulässige Darstellung von GS und sei KS die kompakte offene Untergruppe O p2S Kp . Dann existiert nach Lemma 7.5.27 ein  2 KS so dass V ./ ¤ 0 ein irreduzibler Modul der Hecke-Algebra C ist. Nach Lemma 6.2.5 ist  auf einer offenen Q Untergruppe von  KS trivial. Also existiert eine endliche Stellenmenge T  S mit  K D 1. Nach Satz p p2SXT Q 7.5.26 können wir GS durch GSXT ersetzen, können also annehmen, dass K D p2S Kp und  D 1. Dann ist nach der Aufgabe 7.14 die Faltungs-Algebra C1 D Cc .G/K kommutativ, damit ist jeder irreduzible -Modul eindimensional, also ist V ./ D VK eindimensional. Für jede endliche Teilmenge T QS erzeugt VK nach Lemma 7.5.27 (b) Neine irreduzible Darstellung N T von GT D p2T Gp . Mit p D fpg folgt T Š p2T p . Sei  D p2S p . Nach Satz 7.5.10 ist N irreduzibel. Für jede endliche Teilmenge T  S erhalten wir eine Isometrie T D p2T p ,! . Diese Isometrien können kompatibel gewählt werden, so dass sie eine GS -äquivariante Isometrie  ,!  ergeben. Da  irreduzibel ist, ist diese Abbildung ein Isomorphismus. Damit ist der Tensorprodukt-Satz bewiesen. 

7.5.3 Zulässigkeit automorpher Darstellungen Eine irreduzible Darstellung  von GA heißt kuspidale Darstellung, falls  isomorph zu einer Unterdarstellung von L2cusp ist. Wir wollen den Tensorprodukt-Satz auf kuspidale Darstellungen anwenden. Dazu müssen wir nachweisen, dass diese zulässig sind. Sei A die Faltungsalgebra Cc1 .GA /. Eine unitäre Darstellung .; V / heißt kompakte Darstellung, falls der Operator .a/ kompakt ist für jedes a 2 A. Jede Unterdarstellung einer kompakten Darstellung ist kompakt. In Proposition 7.4.3 haben wir nachgewiesen, dass der Raum der Spitzenformen L2cusp eine kompakte Darstel-

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

201

lung definiert und in Proposition 7.3.13 haben wir gezeigt, dass eine kompakte Darstellung stets eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen ist.

Satz 7.5.30 Jede irreduzible kompakte Darstellung ist zulässig. Insbesondere ist jede kuspidale Darstellung zulässig.

Beweis: Sei .; V / eine irreduzible kompakte Darstellung Q und sei .; V / eine irreduzible Darstellung der kompakten Gruppe KA D p1 Kp , wobei K p D N GL2 .Zp / falls p < 1 und K1 D SO.2/. Dann ist  ein Tensorprodukt  D p p . Sei A D e Ae , dann ist V ./ ein irreduzibler A - -Modul. Die Algebra A ist ein Tensorprodukt der Form A1 ˝Afin , wobei A1 D e1 Cc1 .G1 /e1 und ebenso für Afin . Lemma 7.5.31 Die Algebra A1 ist kommutativ. Beweis: Die irreduziblen Darstellungen der Gruppe K1 D SO.2/ sind durch die Charaktere " , 2 Z gegeben, wobei   " ba b D .a C i b/ : a Die Algebra A1 kann verstanden werden als die Faltungsalgebra der Funktionen f 2 Cc1 .G1 / mit f .k1 xk2 / D ".k1 k2 /f .x/ für k1 ; k2 2 K1 . Sei D die Menge der Diagonalmatrizen. In Aufgabe 3.3 wurde gezeigt, dass G1 D K1 DK1 . Betrachte die Abbildung  W G ! G gegeben durch     .x/ D 1 1 x t 1 1 : Es folgt .kal/ D lak, wenn k; l 2 K1 und a 2 A1 . Daher ist für f 2 A1 schon f D f , wobei f .x/ D f ..x//. Da aber  ein Anti-Automorphismus von G ist, d. h., .xy/ D .y/.x/, gilt für beliebige f; g 2 Cc .G/, dass .f g/ D g f . Hieraus folgt die Behauptung, denn für f; g 2 A1 gilt f g D .f g/ D g f D g f :



R Wir beenden den Beweis des Satzes. Für f 2 A1 definieren wir .f / D G1 f .x/.x/ dx und analog für Afin . Da A1 kommutativ ist, vertauscht jedes f 2 A1 mit jedem a 2 A , also vertauscht .f / mit jedem .a/ mit a 2 A . Nach dem Lemma von Schur operiert .f / auf dem Isotyp V ./ als ein Skalar. Sei e das zu  gehörige Idempotent. Dann ist .e / die Orthogonalprojektion auf den K-Isotyp V ./. Wähle ein f 2 A1 so dass .f / als Identität auf V ./ operiert. Der Operator .e /.f / ist einerseits kompakt, operiert andererseits auf V ./ als eine Orthogonalprojektion. Ergo muss V ./ endlich-dimensional sein, was zu zeigen war. 

202

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

7.6 Aufgaben und Anmerkungen Aufgabe 7.1 Sei .X; d / ein separabler metrischer Raum und sei Z  X eine Teilmenge. Zeige, dass Z ebenfalls separabel ist. Aufgabe 7.2 Zeige, dass die komplexe Algebra Mn .C/ der n  n Matrizen außer 0 und Mn .C/ keine zweiseitigen Ideal hat. (Hinweis: Ist J ein zweiseitiges Ideal und A 2 J , so auch die selbstadjungierte Matrix AA , die diagonalisierbar ist. Ist J ¤ 0, so muss J invertierbare Elemente enthalten.) Aufgabe 7.3 Zeige, dass jede Darstellung .; V / einer kompakten Gruppe K in eine direkte Summe von irreduziblen zerfällt, d. h., dass es einen dichten Unterraum gibt, der eine algebraische direkte Summe von irreduziblen Unterräumen ist. Zeige weiter, dass dieser Raum eindeutig bestimmt ist, falls die Darstellung  zulässig bezüglich K ist. kann den Peter-Weyl-Satz so formulieren, dass L2 .K/ D L (Hinweis: man 2 L.e /L .K/ als topologische Summe, L wobei L die Darstellung durch 2b K Linkstranslation ist. Insbesondere ist C.K/ D  e C.K/. Beachte nun, dass .C.K//V dicht liegt in V .) Aufgabe 7.4 Zeige, dass die Modularfunktion von der Gruppe Bp D Ap Np gegeben ist durch Bp .an/ D aı . Aufgabe 7.5 Seien V; W Hilbert-Räume. Zeige, dass die hermitesche Fortsetzung von ˝ ˛ ˛˝ ˛ ˝ 0 0 v ˝ w; v 0 ˝ w 0 def D v; v w; w ein Skalarprodukt auf dem algebraischen Tensorprodukt V ˝ W definiert. P (Hinweis: Für die Definitheit sei f D v ˝ w ein Element des Tensori i i porduktes. Man kann dann die endlich vielen vi orthonormalisieren und erhält eine neue Darstellung von f , also kann man annehmen, dass die vi paarweise orthogonal sind.) Aufgabe 7.6 Zeige, dass für drei Hilbert-Räume V1 ; V2 ; V3 die Tensorprodukte .V1 ˝ V2 / ˝ V3 und V1 ˝ .V2 ˝ V3 / kanonisch isomorph sind. Zeige weiter, dass V1 ˝ V2 kanonisch isomorph zu V2 ˝ V1 ist. (Hinweis: Man muss zeigen, dass die kanonischen Isomorphismen der algebraischen Tensorprodukte isometrisch sind.) Aufgabe 7.7 Seien .; V / und .; W / unitäre Darstellungen der lokalkompakten Gruppen G und H . Zeige, dass  D  ˝  eine unitäre Darstellung von G  H auf O dem Hilbert-Raum V ˝W ist.

7.6 Aufgaben und Anmerkungen

203

(Hinweis: Der schwierigste Punkt ist die Stetigkeit. Dazu muss man für g; g0 2G, O Ausdrücke der Form jj.g 0 ; h0 /v 0  .g; h/vjj abschäth; h0 2 H und v; v 0 2 V ˝W zen. Man benutzt die Dreiecksungleichung, indem man Terme der Form .g 0 ; h0 /v oder auch .g0 ; h/v einbringt.) Aufgabe 7.8 Zeige, dass das unendliche Tensorprodukt von unitären Darstellungen, wie definiert vor dem Satz 7.5.10, eine unitäre Darstellung ist. (Hinweis: Es istN zu zeigen, dass für konvergente Folgen gn ! g in G und vn ! v in W D p Vp gilt .gn /vn ! .g/v. Ähnlich wie im Beweis von Satz 7.1.3 kann man sich auf Vektoren in einem dichten Teilraum zurückziehen.) Aufgabe 7.9 Benutze den Peter-Weyl-Satz um zu zeigen, dass ( e falls  Š  ; e e D 0 sonst. Aufgabe 7.10 Sei H eine Untergruppe der lokalkompakten Gruppe G. Wir setzen jede stetige Funktion f 2 C.H / auf H durch Null nach G fort und fassen so C.H / als Teilmenge der Menge aller Abbildungen von G nach C auf. Zeige: C.H /  C.G/

,

H offen in G :

Zeige weiter: Ist H nicht offen in G, dann gilt C.H / \ C.G/ D 0 : Aufgabe 7.11 Sei .; V / eine Darstellung von Gp D GL2 .Qp /. Ein Vektor v 2 V heißt glatt, falls sein Stabilisator in Gp offen ist. Zeige: der Vektorraum V 1 der glatten Vektoren in V ist dicht in V . (Hinweis: Zeige, dass die Faltungsalgebra der lokalkonstanten Funktionen mit kompakten Trägern eine Dirac-Folge enthält.) Aufgabe 7.12 Sei p eine Primzahl und Mp die Menge der ganzzahligen 2  2 Ma trizen mit Determinante p. Zeige Mp D p 1 , wobei D SL2 .Z/. Aufgabe 7.13 Sei D SL2 .Z/, k 2 2N und f 2 Sk . / eine Spitzenform. Wir identifizieren Sk . / mit einem Unterraum von L2 .GQ ZR nGA /. Zur Unterscheidung schreiben wir A.f / 2 L2 .GQ ZR nGA / für das Element, das f zugeordnet wird. Sei p eine Primzahl und gp 2 C1 c .Gp / gegeben durch gp D 1

 1 Kp p

Für ' 2 L2 .Z.R/GQ nGA / sei R.gp /'.x/ D

 1

R Gp

Kp

:

gp .y/'.xy/ dy. Zeige:

R.gp /A.f / D p 1k=2 A.Tp f /; wobei Tp der Hecke-Operator aus Kap. 2 ist.

204

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

Aufgabe 7.14 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und K eine kompakte Untergruppe. Zeige, dass die Menge Cc .G/K aller K-biinvarianten Funktionen in Cc .G/ eine Unteralgebra von Cc .G/ ist. Ist Cc .G/K eine kommutative Algebra, so nennt man das Paar .G; K/ ein Gelfand-Paar. Zeige: Ist S eine Menge von Q endlichen Stellen, so ist .GL2 .AS /; GL2 .ZS // ist ein Gelfand-Paar, wobei ZS D p2S Zp ist. (Hinweis: Bestimme ein Vertretersystem von KnG=K wie in Proposition 2.7.2 aus dem letzten Semester. Zeige dann, dass die Matrixtransposition eine lineare Abbildung T W Cc .G/ ! Cc .G/ definiert mit T .f g/ D T .g/ T .f /. Beachte, dass das Haar-Maß auf G invariant ist unter Transposition und Inversenbildung.) Aufgabe 7.15 Sei G D SL2 .R/ und K D SO.2/. Zeige, dass für jedes  2 KO die Faltungsalgebra C kommutativ ist. (Hinweis: Da K abelsch ist, ist jede irreduzible unitäre Darstellung  von K durch einen Charakter e gegeben. Zeige, dass C genau aus den Funktionen f 2 Cc .G/ besteht, die f .uxl/ D e .u/e .l 1 /f .x/ erfüllen. Zeige dann, dass die Transposition eine lineare Abbildung T W C ! C definiert mit T .f g/ D T .g/ T .f /. Benutze nun Aufgabe 3.3 um zu sehen, dass T .f / D f ist für jedes f 2 C .) Aufgabe 7.16 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und sei K eine kompakte offene Untergruppe. Wir normieren das Haar-Maß von G so, Rdass K das Maß 1 hat. Sei .; V / eine Darstellung von G. Zeige, dass .1K / D K .x/ dx eine Projektion ist mit Bild VK . Zeige weiter, dass .1K / eine Orthogonalprojektion ist, falls die Darstellung jK unitär ist. Aufgabe 7.17 Sei K eine total unzusammenhängende kompakte Gruppe. Zeige, dass jede irreduzible Darstellung  über einen endlichen Quotienten K=N von K faktorisiert. (Hinweis: Nach Satz 7.5.12 ist  endlich-dimensional. Zeige, dass GLn .C/ eine Einsumgebung hat, die außer der trivialen Gruppe keine Untergruppe enthält.)

Anmerkungen Wir haben in diesem Kapitel gezeigt, dass jede kuspidale Darstellung zulässig und ein Tensorprodukt ist. Darüber hinaus ist es richtig, dass jede irreduzible unitäre Darstellung von Gp ; G1 oder GA zulässig und damit ein Tensorprodukt von lokalen Darstellungen ist. Um dies zu beweisen muss man aber tiefer in die lokale Darstellungstheorie einsteigen, was hier zu aufwändig wäre. Ein Beweis für G1 findet sich etwa in [23], für Gp in [15].

Kapitel 8

Automorphe L-Funktionen

Sei R ein Ring. Wir schreiben M2 .R/ für die Algebra der 2  2-Matrizen über R. Für x 2 M2 .A/ sei Y j det.xp /j : jxj D j det.x/j D p1

Sei S.M2 .A// der Raum der Schwartz-Bruhat Funktionen auf M2 .A/, d. h. Qjedes f 2 S.M2 .A// ist eine endliche Summe von Funktionen der Form f D p fp , wobei fp D 1M2 .Zp / für fast alle p und fp 2 S.M2 .Qp // für alle p. Hierbei ist S.M2 .R// der Raum der Schwartz-Funktionen auf M2 .R/ Š R4 und S.M2 .Qp // ist der Raum der lokalkonstanten Funktionen mit kompakten Trägern auf M2 .Qp /.

8.1 Das Gitter M2 .Q/ Sei e der übliche additive Charakter auf A. Für x 2 M2 .A/ schreiben wir der Einfachheit halber e.x/ für e.Sp.x//, also   a b D e.a C d / : e c d Lemma 8.1.1 M2 .Q/ ist eine diskrete, cokompakte Untergruppe von M2 .A/, also ein Gitter. Das Gitter M2 .Q/ ist selbstdual in M2 .A/, d. h., für x 2 M2 .A/ gilt e.xy/ D 1 8y 2 M2 .Q/

,

x 2 M2 .Q/ :

Beweis: Da Q diskret ist in A und M2 .A/ Š A4 die Produkttopologie trägt, ist M2 .Q/ diskret in M2 .A/. Wegen M2 .A/= M2 .Q/ D A4 =Q4 D .A=Q/4 ist M2 .Q/ auch cokompakt in M2 .A/. A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

205

8 Automorphe L-Funktionen

206

In der letzten Aussage ist die Rückrichtung erfülle    trivial. Für die Hinrichtung  x 2 M2 .A/ die Voraussetzung. Ist x D ac db 2 M2 .A/ und y D 0t 00 , so gilt   e.xy/ D e Sp at ct

0 0



D e.at/ :

Da t 2 Q beliebig ist, folgt a 2 Q. Der Rest geht ähnlich.



Für f 2 S.M2 .A// sei die Fourier-Transformation definiert durch Z fO.x/ D f .y/e.xy/dy : M2 .A/

Durch Ausnutzen der entsprechenden Tatsachen aus dem eindimensionalen Fall zeigt man, dass die Fourier-Transformation den Raum S.M2 .A// in sich überführt O und die Inversionsformel fO.x/ D f .x/ erfüllt.

8.2 Lokale Faktoren Wir führen zunächst den Begriff der Gruppenalgebra ein. Hierfür sei G eine Gruppe, dann ist die Gruppenalgebra CŒG über C definiert als die Faltungsalgebra aller Funktionen f W G ! C mit endlichen Träger. Genauer ist CŒG der komplexe Vektorraum aller f W G ! C so dass die Menge supp.f / D fg 2 G W f .g/ ¤ 0g endlich ist. Sind f; g 2 CŒG so definieren wir das Faltungsprodukt als f  g.x/ def D

X

f .y/g.y 1 x/ :

y2G

Die Gruppenalgebra hat eine kanonische Basis .ıy /y2G , wobei ( 1 x Dy; ıy .x/ D 0 x ¤y: Wir rechnen: ıx  ıy .z/ D

P

r2G ıx .r/ıy .r

1

z/ D ıy .x 1 z/ D ıxy .z/ : Also

ıx  ıy D ıxy : Diese Identität gibt uns eine weitere Möglichkeit, die Gruppenalgebra zu definieren. Demnach ist CŒG der Vektorraum mit einer Basis .ıy /y2G zusammen mit einer Multiplikation, die auf den Basiselementen durch ıx ıy D ıxy definiert dann linear auf den ganzen Raum fortgesetzt wird. Wir wollen in beiden Definitionen verstehen, was die Algebren-Homomorphismen von CŒG nach C sind, also die linearen Abbildungen  W CŒG ! C, die multiplikativ sind, also .ab/ D .a/.b/ für alle a; b 2 CŒG erfüllen und für die gilt .ı1 / D 1. Zunächst ist klar, dass dann die Abbildung ' W G ! C gegeben durch

8.2 Lokale Faktoren

207

'.y/ D .ıy / eine multiplikative Abbildung ist. Wegen 1 D .ı1 / D '.1/ D '.yy 1 / D '.y/'.y 1 /, folgt, dass jedes '.y/ invertierbar ist, also in der multiplikativen Gruppe C liegt. Damit induziert jeder Algebrenhomomorphismus  einen Gruppenhomomorphismus ' W G ! C . Die Umkehrung ist auch richtig, denn für gegebenes ' kann man  durch lineare Fortsetzung aus .ıy / D '.y/ gewinnen. Wir haben also eine kanonische Bijektion Š

HomAlg .CŒG; C/ ! HomGrp .G; C / : Wir wollen schließlich noch sehen, wie sich dies in der Darstellung von CŒG als Faltungsalgebra ausdrückt. Hierzu sei ein Gruppenhomomorphismus ' W G ! C gegeben und sei  der zugehörige Algebrenhomomorphismus. Sei f W G ! C eine Funktion P mit endlichem Träger. Dann lässt sich f als endliche Summe schreiben f D y2G f .y/ıy : Aus der Linearität von  ergibt sich X .f / D f .y/'.y/ : y2G

Diese Formel wird später gebraucht werden. Sei p < 1 eine Primzahl. Sei .; V / eine irreduzible zulässige Darstellung von Gp auf einem Hilbert-Raum. Wir nehmen an, dass  unverzweigt ist. Die Algebra K Hp p der Kp bi-invarianten Funktionen mit kompaktem Träger auf Gp operiert auf K dem Raum V Kp . Da dieser Raum eindimensional ist, operiert Hp p durch einen Kp Charakter  2 HomAlg .Hp ; C/. Sei Ap  Gp die Untergruppe der Diagonalelemente und Np D NQp die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. Dann ist Bp D Ap Np die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Für a D diag.a1 ; a2 / sei ı.a/ D ja1 j=ja2 j. Dann ist .an/ D ı.a/ die Modularfunktion von Bp , wie in Aufgabe 7.4 gezeigt wurde. Sei das Haar-Maß dn auf Np so normalisiert, dass vol.NZp / D 1 ist. Um die kommende Definition der Satake-Transformation zu motivieren, erinnern wir uns an die Hauptserien-Darstellung . ; V / zu einem Quasicharakter  von A. Lemma 8.2.1 Die Darstellung  ist genau dann unverzweigt, wenn der QuasichaK rakter  unverzweigt ist. In diesem Fall gilt V p D Cp , wobei das Element p von V durch p .ank/ D aCı=2 ; für a 2 Ap , n 2 Np , k 2 Kp definiert ist. K

Beweis: Sei  unverzweigt und 0 ¤ ' 2 V p . Dann ist 'jKp konstant außerhalb einer Nullmenge, nach Abänderung von ' können wir also voraussetzen, dass ' konstant ist auf Kp . Gegebenenfalls multiplizieren wir ' mit einem Skalar, so dass diese Konstante gleich Eins ist. Also ist für a 2 Ap \ Kp : 1 D '.1/ D '.a/ D aCı=2 '.1/ D a ;

8 Automorphe L-Funktionen

208

das bedeutet, dass  unverzweigt ist. Sei umgekehrt  unverzweigt, so können wir p widerspruchsfrei durch die Formel im Lemma definieren. Dann gilt p 2 V , denn für a 2 Ap , n 2 Np und x 2 Gp gilt p .anx/ D p .ana1 n1 k/ D p . aa1 na1 n1 k/ D .aa1 /Cı=2 „ƒ‚… „ƒ‚… 2Ap

D a

Cı=2

p .a1 n1 k/ D a

2Np

Cı=2

p .x/ ;

wobei wir die Iwasawa-Zerlegung von x als x D a1 n1 k geschrieben haben und na1 D a11 na1 . Die Funktion p ist bis auf skalare Vielfache das einzige Element K von V , das auf Kp konstant ist, also spannt p den Raum V p auf.  Sei nun  unverzweigt. Da  unverzweigt ist, existiert ein AlgebrenhomomorK phismus  W Hp p ! C so dass  .f /p D  .f /p : Da p .1/ D 1 ist, folgt  .f / D  .f /p .1/. Wir rechnen Z  .f / D  .f /p .1/ D f .x/ .x/p .1/ dx Gp

Z

Z

f .x/p .x/ dx D

D Gp

Z

D

f .an/p .ank/ da dn dk Ap Np Kp

f .an/aCı=2 da dn:

Ap Np

Definition 8.2.2 Wir definieren die Satake-Transformierte von f als Z ı=2 f .an/ dn : Sf .a/ D a Np

R Es gilt dann  .f / D Ap Sf .a/a da: Wir schreiben A D Ap =Ap \ Kp Š .Qp =Zp /2 Š Z2 . Der Normalisator N.Ap / von Ap in Gp ist die Gruppe aller monomialen Matrizen, d. h. der Matrizen, die in jeder Zeile und Spalte genau einen von Null verschiedenen Eintrag haben. Die Weyl-Gruppe von Ap ist die Gruppe N.Ap /=Ap , diese Gruppe ist isomorph zur Permutationsgruppe Per.2/ in zwei Buchstaben und operiert auf A durch Vertauschen   der Einträge. Sie operiert ebenso auf A Š Z2 und auf der Gruppenalgebra C A . Die Menge der W -Invarianten, ˚     W D ˛ 2 C A W w˛ D ˛ 8w 2 W C A ist eine Unteralgebra, die abgeschlossen ist unter ˛ 7! ˛  , wobei ˛ .a/ D ˛.a1 / die kanonische Involution auf der Gruppenalgebra ist.

8.2 Lokale Faktoren

209

Satz 8.2.3 Die Satake-Transformation f 7! Sf 1 R ı.a/ 2 Np f .an/ dn ist ein Algebren-Isomorphismus

mit Sf .a/

D

 W Š K ; S W Hp p ! C A mit der Eigenschaft, dass S.f  / D S.f / .

Beweis: Als erstes überlegen wir uns, dass die Funktion Sf kompakten Träger in A hat. Ist  der Träger von f , so ist  \ AN eine kompakte Teilmenge von AN . Aus der Formel      a1 a1 x 1 x a1 D an D a2 1 a2 wird aber klar, dass die Multiplikations-Abbildung A  N ! AN ein Homöomorphismus ist. Der Träger von Sf ist eine Teilmenge von P . \ AN /, wobei P W AN ! A die Projektion ist. Da P stetig ist, ist der Träger von Sf also kompakt. Wir werden später in Lemma 8.2.4 noch explizit angeben, wie der Träger in konkreten Fällen aussieht. Wir zeigen nun, dass es sich um einen Algebrenhomomorphismus handelt. Dazu K rechnen wir für f; g 2 Hp p : Z Z 1 2 S.f  g/.a/ D ı.a/ f .y/g.y 1 an/ dy dn Np Gp 1

Z Z Z

f .a0 n0 / g.n01 a01 an/ da0 dn0 dn ; „ ƒ‚ …

D ı.a/ 2

Dg.a01 an00 n/

Np Ap Np

wobei n00 D .a01 a/1 n01 .a01 a/ 2 N . Da dn ein Haar-Maß ist, können wir n00 n durch n ersetzen und erhalten Z Z Z 1 2 S.f  g/.a/ D ı.a/ f .a0 n0 /g.a01 an/ da0 dn0 dn Np Ap Np

Z D

0

ı.a / Ap

„

1 2

Z

0

f .a n/ dn ı.a Np

ƒ‚

DSf .a0 /

…„

01

a/

1 2

Z

g.a01 an/ dn da0

Np

ƒ‚

DSg.a01 a/

…

D .Sf /  .Sg/.a/ : Nun zeigen wir, dass die Satake-Transformation auch wirklich in den Weyl  Gruppen-Invarianten landet. Hierzu sei w D 1 1 ein Vertreter für das nichttriviale Element der Weyl-Gruppe. Da w D w 1 ist, gilt waw 1 D waw für jedes a 2 Ap .

8 Automorphe L-Funktionen

210 K

Wegen w 2 Kp und der Kp -Invarianz von f 2 Hp p erhalten wir Z Z 1 1 Sf .waw/ D ı.waw/ 2 f .wawn/ dn D ı.waw/ 2 f .awnw/ dn: Ist a D

 a1

 a2

und n D

Np

1

Np

 x

, so gilt  a1   1

1

awnw D

a2



x 1

D ant D .na/t :

In der Übungsaufgabe 7.14 haben wir gezeigt, dass für jedes g 2 Gp gilt Kp gKp D Kp g t Kp , also gilt f ..na/t / D f .na/. Beachte nun, dass gilt ı.waw/ D ı.a/1 D ja2 j , so dass wir insgesamt erhalten: ja1 j  Sf .waw/ D

ja2 j ja1 j

 12 Z

 a1

f

a2 x a2



 dx D

Qp

ja1 j ja2 j

 12 Z f

 a1

a1 x a2



dx D Sf .a/ :

Qp

Als Nächstes zeigen wir die -Eigenschaft: Es ist Z Z 1 1 S.f  /.a/ D ı.a/ 2 f .n1 a1 / dn D ı.a/ 2 f .a1 ana1 / dn N 1

D ı.a /

1 2

Z

N

f .a1 n/ dn

D S.f /.a1 / D S.f / .a/ :

N

k

Nun zur Injektivität: Für k; l 2 Z sei A.k; l/ D Kp p pl Kp . Dann ist nach dem Elementarteilersatz für den Hauptidealring Zp , [ A.k; l/; (disjunkte Vereinigung) . Gp D kl



i Lemma 8.2.4 Ist a D p j , so trifft die Menge aNp eine Doppelnebenklasse p A.k; l/ genau dann, wenn k  i; j und l D i C j  k. k

Beweis: Sei zunächst aNp \ Kp p pl Kp ¤ ;. Nach Multiplikation mit p  mit 2 N können wir annehmen, dass i; j; k; l  0. Dann sind alle Matrizen ganzzahlig und p k ist der erste Elementarteiler

an, also der größte gemeinsame i i von Teiler aller Einträge der Matrix an D p ppjx . Daher ist k  i; j . Ferner muss die Determinante von an von der Form p kCl u sein, wobei u 2 Zp ist. Es ist also p i Cj D p kCl u und damit i C j D k C l. Für die Rückrichtung nimm an, dass k  i; j und k C l D i C j . Wieder können

pi pk in aN . Diese wir alle Indizes als positiv annehmen. Dann liegt die Matrix pj

8.2 Lokale Faktoren

211



pk



hat den ersten Elementarteiler p k und liegt damit in Kp Kp für ein l 0  k. 0 pl i k

0 Da aber die Determinante von p ppj gleich p i Cj D p kCl D pkCl u ist für ein u 2 Zp , folgt l 0 D l.  Im nachfolgenden Bild sehen i wir die Koordinaten .k; l/ der Doppelnebenklassen A.k; l/, die von der Menge p pj N getroffen werden. ppp

rr

rr

rr

rr

rr

rr

j

i K

Ein gegebenes 0 ¤ f 2 Hp p hat als Träger nur endlich viele Nebenklassen. Ist also i sehr klein und j groß, so wird die Menge aN mit dem Träger von f einen leeren i Schnitt

haben. Vergrößert man i und verkleinert man j , so findet man ein a D p pj so dass aN den Träger von f in genau einer Doppelnebenklasse A.k; l/ trifft. Für dieses a ist dann Sf .a/ ¤ 0. Dies zeigt die Injektivität der SatakeTransformation.

i Umgekehrt zeigt das folgende Bild die Koordinaten .i; j / der a D p pj , so dass aN von einer gegeben Doppelnebenklasse A.k; l/ getroffen wird.

r

rr

l rr

rr

rr

rr

k

k

rr

rr

l rr

rr

rr

rr

8 Automorphe L-Funktionen

212

Wir sehen, dass das Bild der charakteristischen Funktion f D 1A.k;l/ unter der Satake-Transformation von der Form Sf D

l X

ck;l ı p

Dk

 pkCl

k;l ist, mit reellen Zahlen ck;l > 0, die die Symmetriebedingung cik;l D ckCli erfüllen. Wir nutzen dies aus, um zu zeigen, dass das Bild der Satake-Transformation die Erzeuger  C ı ; ei;j D ı pi i; j 2 Z ; pj pj



pi

W

von C A enthält. Es reicht, den Fall i  j zu betrachten. Wir schreiben j D i C n für n  0 und beweisen die Behauptung durch Induktion über n. Für n D 0 ist der Erzeuger ein Vielfaches des Bildes von 1A.i;i /. Nun folgt der Induktionsschluss K von n nach n C 1: Nach Induktionshypothese gibt es f0 2 Hp p so dass S.f0 / D

i Cn X

ci;i CnC1ı p 

Di C1



:

p2i CnC1

Ist nun f D 1A.i;i CnC1/, so folgt S.f /  S.f0 / D cii;i CnC1ei;i CnC1 : Damit ist zum Schluss auch die Surjektivität des Satake-Homomorphismus bewiesen.  Wir wollen die Hecke-Algebra Hp noch etwas besser verstehen. Sei Zp der Untervektorraum Zp D Spanf1pk Kp W k 2 Zg : Für k; l 2 Z rechnet man leicht nach, dass gilt 1pk Kp  1pl Kp D 1pkCl Kp : Das bedeutet, dass Zp eine Unteralgebra von Hp ist. Sei Jp das Ideal von Hp , das erzeugt wird von allen Elementen der Form 1pk Kp  1Kp : Sei V ein Hp -Modul. Wir sagen, dass V ein Zp -trivialer Modul ist, falls 1pk Kp v D v für jedes v 2 V gilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn Jp V D 0 ist, also genau dann, wenn V ein Modul der Algebra Hp =Jp ist. Lemma 8.2.5 Die Algebra Hp =Jp ist isomorph zum Polynomring CŒx. Das Element gp D 1 p1 ist ein Erzeuger dieser Algebra. Kp

1

Kp

8.2 Lokale Faktoren

213

Beweis: Eine kleine Rechnung zeigt, dass der Satake-Isomorphismus die Algebra W W Zp auf die Gruppenalgebra D D CŒA   CŒAW abbildet. Hierbei ist A die Untergruppe der W -invarianten Elemente, also W

A

D Qp

1

1

ı  1 Zp

C ı

Ferner ist S.gp / ein Vielfaches von ı p1

1

1

 1

p 1

:

.

Die Algebra CŒAW wird

als komplexer Vektorraum aufgespannt von den Elementen a.k; l/ D ı pk

 pl

C ı p l

k; l 2 Z :

; pk

Für m 2 Z gilt a.k C m; l C m/ D a.k; l/ı pm

,

und dieses Element liegt

pm

in a.k; l/ C Jp . Das bedeutet, dass modulo des Ideals Jp jedes Element a.k; l/ in die Form a.k; 0/ mit k  0 gebracht werden kann. Sei k  1, dann ist a.1; 0/k D a.k; 0/ C c, wobei c eine Linearkombination von Elementen von Jp und a.m; 0/ ist mit 0  m < k. Daraus folgt, dass die von gp erzeugte Algebra CŒgp  surjektiv auf Hp =Jp abgebildet wird und dass Jp \ CŒgp  D 0 ist.    Sei Zp D Qp 1 1 das Zentrum von Gp . Eine Darstellung .; V / von Gp heißt Zp -trivial, falls die Gruppe Zp trivial auf V operiert. Wir erhalten Zp -triviale Hecke-Moduln aus Zp -trivialen Gp -Moduln wie folgt. Lemma 8.2.6 Sei .; V / eine irreduzible unverzweigte Darstellung von Gp . Dann ist  genau dann Zp -trivial, wenn VK ein Zp -trivialer Hecke-Modul ist. Beweis: Sei  eine Zp -triviale Darstellung. Für k 2 Z gilt dann Z Z k k .p x/ dx D .p / .x/ dx D .1Kp / ; .1pk Kp / D „ƒ‚… D1 Kp

Kp



 k 1



geschrieben haben. Sei umgekehrt VK ein Zp wobei wir .pk / für  p 1 trivialer Modul und sei v0 2 VK X f0g. Dann ist .Cc .Gp //v0 dicht in V , sei also v D .f /v0 aus diesem dichten Teilraum. Sei a 2 Qp , so folgt .a/v D .a/.f /v0 D .f /.a/v0 D .f /.1aKp /v0 D .f /v0 D v : 

Das Lemma ist bewiesen.

 W K Nach dem Satake-Isomorphismus haben wir Hp p Š C A : Wir wollen die K

Algebren-Homomorphismen von Hp p nach C bestimmen. Hierzu brauchen wir das folgende Lemma.

8 Automorphe L-Funktionen

214

Lemma 8.2.7 Sei A eine Algebra über C und sei W D f1; wg eine zweielementige Gruppe von Automorphismen von A. Die Menge AW der W -Invarianten ist eine Unteralgebra von A. Die Gruppe W operiert auf der Menge HomAlg .A; C/ der Algebren-Homomorphismen von A nach C und die Restriktionsabbildung liefert eine Bijektion Š

HomAlg .A; C/=W ! HomAlg .AW ; C/ : Beweis: Da W aus Algebren-Automorphismen besteht, ist es klar, dass AW eine Unteralgebra ist. Sei A die Menge aller a 2 A so dass w.a/ D a. Jedes a 2 A kann geschrieben werden als a D 12 .a C w.a// C 12 .a  w.a// : Da w 2 D 1 ist, folgt a  w.a/ 2 A und man hat damit eine direkte Summenzerlegung A D AW ˚ A : Wir betrachten die Restriktionsabbildung res W HomAlg .A; C/=W ! HomAlg .AW ; C/ : Zur Injektivität: Seien ; 2 HomAlg .A; C/ mit jAW D jAW . Mit a 2 A ist das Element a2 in AW . Daher folgt .a/2 D .a2 / D .a2 / D .a/2 , also .a/ D ˙ .a/. Erster Fall: Es gilt .a/ D .a/ für jedes a 2 A , dann folgt  D . Zweiter Fall: Es gibt ein a0 2 A mit .a0 / ¤ .a0 /. Dann muss folgen 0 ¤ .a0 / D  .a0 /. Für ein beliebiges b 2 A ist dann a0 b 2 AW und es gilt also .b/ D

.a0 b/ .a0 b/ D  D  .b/ D .a0 / .a0 /

.b/ D

.w.b// :

Wir schließen hieraus, dass  D w ist und damit ist die Injektivität bewiesen. Zur Surjektivität: Sei ein Algebrenhomomorphismus  W AW ! C gegeben. Wir müssen zeigen, dass  sich zu einem Homomorphismus von A nach C liften lässt. Wir unterscheiden zwei Fälle: Erster Fall: Es gilt .b 2 / D 0 für jedes b 2 A . In diesem Fall folgt .bb 0 / D 0 für alle b; b 0 2 A , wie man aus der Gleichung 2bb 0 D .b C b 0 /2  b 2  b 02 ersieht. Wir setzen .a C b/ D .a/ ; falls a 2 AW und b 2 A . Es ist zu zeigen, dass multiplikativ ist. Seien also a; a0 2 AW und b; b 0 2 A . Dann ist   .a C b/.a0 C b 0 / D .aa0 C ab 0 C a0 b C bb 0 / D .aa0 / D

.a C b/ .a0 C b 0 / :

8.2 Lokale Faktoren

215

Zweiter Fall: Es gibt ein b0 2 A mit .b02 / ¤ 0. In diesem Fall wähle ein Wurzel .b0 / von .b02 / und setze .a C b/ D .a/ C

.bb0 / : .b0 /

Man rechnet leicht nach, dass auch diese Abbildung multiplikativ ist, womit das Lemma bewiesen ist.  K

Die Algebren-Homomorphismen von Hp p nach C können daher bestimmt werden als



 W K HomAlg Hp p ; C Š HomAlg C A ;C     Š HomAlg C A ; C =W   Š HomGrp A; C =W : K

Ist nun .; V / eine irreduzible unverzweigte Darstellung, so ist der Raum V p K eindimensional. Sei v 2 V p X f0g. Dann existiert ein AlgebrenhomomorphisK mus  W Hp p ! C so dass .f /v D  .f /v K

für jedes f 2 Hp p . Wir ordnen also einer unverzweigten irreduziblen Darstellung  einen Gruppenhomomorphismus  W A ! C zu, der bis auf die Operation der Weyl-Gruppe K wohlbestimmt ist, so dass für jedes f 2 Hp p gilt Z  .f / D Sf .a/a da: Ap

Wir brauchen diese Identität für eine etwas größere Algebra als Hp p . Sei also HL p p die Faltungsalgebra aller f 2 Cc1 .Gp / so dass f  e D e  f gilt, wobei e D 1Kp . K K Dann ist Hp p  HL p p . K

K

Lemma 8.2.8 Sei .; V / eine unverzweigte irreduzible Darstellung von Gp . Dann K K ist der eindimensionale Raum V p stabil unter der Algebra HL p p und ein gegebenes K K f 2 HL p p operiert auf V p durch den Skalar Z Sf .a/a da :  .f / D Ap K

Beweis: Die Aussage ist bekannt, falls f in Hp p liegt. Außerdem ist die Aussage K klar, falls  eine Hauptseriendarstellung  ist. Sei also f 2 HL p p . Dann ist f  e 2 K K Hp p , also operiert f auf V p durch den Skalar  .f  e/. Wir müssen also zeigen, dass  .f / D  .f  e/ ist. Ist  D  , so ist dies wiederum klar. Nun hängt 

8 Automorphe L-Funktionen

216

aber doch nur von  D  ab, also ist  D  und damit folgt  .f  e/ D  .f  e/ D  .f / D  .f /.  Die Gruppe A ist isomorph zu Z2 . Um einen Isomorphismus anzugeben, muss man zwei Erzeuger der Gruppe A wählen. Wir wählen die Erzeuger     1 p : und p 1 Es folgt



K HomAlg Hp p ; C Š HomGrp .Z2 ; C /=W  2 Š C =W Š T =W ;

wobei T  GL2 .C/ die Gruppe der Diagonalmatrizen ist und W Š Z=2Z operiert durch Vertauschen der Einträge. Damit wird dem Algebrenhomomorphismus  ein Element  von T =W zugeordnet. Mit dieser Zuordnung definieren wir den lokalen L-Faktor von  als 1 L./ def D det.1   / :

Man beachte, dass die so definierten lokalen Faktoren von der Wahl des Isomorphismus A Š Z2 abhängen. Diese nachfolgende Betrachtungen   durch Wahl wird aber  gerechtfertigt. Sei $1 D p 1 und $2 D 1 p . Dann ist L./1 D .1   .$1 //.1   .$2 // : Wir definieren jj D max.j .$j /j/ : j

Die charakteristische Funktion 1M2 .Zp / , die wir als Funktion auf Gp D GL2 .Qp / K

auffassen, liegt nicht in der Hecke-Algebra Hp p . Nach dem Elementarteilersatz

S pk Kp . Daher für den Hauptidealring Zp gilt M2 .Zp / \ Gp D K p 0kl pl kann 1M2 .Zp / als unendliche Summe von Elementen der Hecke-Algebra geschrieben werden. Genauer sei für 2 N,  k  [ p M D Kp Kp : pl 0kl

Dann ist 1M 2 Hp für jedes . Proposition 8.2.9 Sei P1 D .1Kp / die isotypische Projektion auf den eindimenK sionalen Raum V p von Kp -Fixvektoren. Ist jj < 1 dann gilt

1 lim  1M .x/jxj 2 D L./P1 ; !1

8.2 Lokale Faktoren

217

wobei die Folge im Banach-Raum der stetigen Operatoren auf V konvergiert. Wir 1 schreiben symbolisch .1M2 .Zp / jxj 2 / für diesen Operator auf V . 1

1

Beweis: Sei f .x/ D 1M2 .Zp / .x/jxj 2 und für 2 N sei f D 1M .x/jxj 2 . Wir 1 R zeigen nun, dass das Satake-Integral Sf .a/ D ı.a/ 2 np f .an/ dn konvergiert. Wir zeigen dann, dass das Integral Z Sf .a/a da  .f / D A

für  D  absolut konvergiert und dass gilt  .f / D lim  .f /. Beachte zunächst, dass aus f .an/ ¤ 0 schon folgt a D a1 a2 2 A \ M2 .Zp /, also jaj j  1 für j D 1; 2. Damit ist auch Sf .a/ D 0 falls a … M2 .Zp /. Für a 2 M2 .Zp / rechnen wir  Sf .a/ D  D  D

ja1 j ja2 j

 12 Z f

 a1

Qp

1 ja1 jja2 j 1 ja1 jja2 j

 12 Z f

a1 x a2

 a1

Qp

 12 Z

 dx

x a2

 dx

1

.ja1 jja2 j/ 2 1M2 .Zp /

 1

x 1

 dx D 1 :

Qp

Es folgt also Sf D 1A\M2 .Zp / . Da die Folge f monoton wachsend gegen f konvergiert, konvergiert auch Sf monoton wachsend gegen die Funktion Sf . Ist jj < 1, so konvergiert das Integral  .f / absolut und stellt damit eine Majorante für die Folge Sf dar, so dass in der Tat gilt  .f / D lim  .f /. Wir fassen im Folgenden den Gruppenhomomorphismus  W A ! C auch als Algebrenhomomorphismus CŒA ! C auf. Wegen jj < 1 erhalten wir 1 Y YX .1   .$j //1 D  .$j /k

L./ D det.1   /1 D

j

j

0 1 N YX k A D D lim  @ ı$ j N !1

j

kD0

0 lim  @

N !1

N X

N

A

D  .f / D lim  .f / ; 

k ı$ ıl A 1 $2

Z 1AN .a/a

N

1

l;kD0

Z D lim  .1AN / D lim

kD0



Sf .a/a da

da D A

8 Automorphe L-Funktionen

218

 a1



N wobei AN die Menge aller  ja1 j; ja2 j  1 ist und wir in der a2 mit p zweitletzten Zeile wieder mit majorisierter Konvergenz geschlossen haben. Die Proposition folgt. 

Für s 2 C ist der unverzweigte Charakter g 7! jgjs eine unverzweigte zulässige Darstellung und daher ist s D j:js  W g 7! jgjs .g/ ebenfalls eine zulässige unverzweigte Darstellung. Es gilt js j D p  Re.s/ jj ; also folgt das Korollar 8.2.10 Für jede irreduzible zulässige Darstellung  und s 2 C mit jj < p Re.s/ gilt L.; s/P1 def D L.s /P1

1 D j:js  1M2 .Zp / .x/jxj 2

1 D  1M2 .Zp / .x/jxjsC 2 : Zu Ende des Abschnitts wollen wir die L-Funktion der trivialen Darstellung bestimK men. Ist  D 1, so folgt für jedes f 2 Hp p Z Z Z  .f / D f .x/ dx D f .an/ da dn D aı=2 Sf .a/ da: Gp

Ap Np

   Das bedeutet, dass  p 1 D p ist der lokale Euler-Faktor L.; s/ D

Ap

ı=2 1

 p D 1= p und  1 1

.1  p

sC 12

1

/.1  p s 2 /

 p

D

p

p. Also

:

Dies ist gerade der Euler-Faktor der Funktion     1 1

s ;

sC 2 2 wobei die Riemannsche Zetafunktion ist.

8.3 Globale L-Funktionen In diesem Abschnitt führen wir die globale L-Funktion ein und beweisen eine Funktionalgleichung.

8.3 Globale L-Funktionen

219

Sei  eine irreduzible zulässige unitäre Darstellung von GA , dann ist  ein TenN sorprodukt der Form  D p p und p ist für fast alle p unverzweigt. Sei F eine endliche Stellenmenge so dass 1 2 F und so dass F alle Stellen enthält, an denen  verzweigt ist. Wir definieren die (partielle) globale L-Funktion von  als Y L.p ; s/; s 2 C; LF .; s/ D p…F

falls das Produkt konvergiert. Als Beispiel betrachten wir die triviale Darstellung  D triv. In diesem Fall können wir F D f1g wählen und wir haben im letzten Abschnitt bewiesen, dass     1 1 L.triv; s/ D s C

s 2 2 gilt. F Man beachte, N dass L .; s/ nur von den p mit p … F abhängt, also von der Darstellung p…F p von GAF . N Jede kuspidale Darstellung  ist zulässig und daher ein Tensorprodukt  D p p von lokalen Darstellungen, wobei fast alle p unverzweigt sind. Sei von nun an .; V / eine nichttriviale kuspidale Darstellung. Wir wählen einen isometrischen GA -Homomorphismus  W V ,! L2 .GQ ZR nGA / K

und einen Vektor v D ˝p vp 2 V so dass vp 2 Vpp falls p unverzweigt ist. Sei ' D .v/. Wir können annehmen, dass ' im Bild von R.f / für ein f 2 Cc1 .GA / liegt. Dann ist ' glatt und nach Proposition 7.4.3 ist ' schnell fallend, also insbesondere beschränkt. Außerdem können wir annehmen, dass '.1/ D 1 ist. Dies kann erreicht werden, indem man, falls erforderlich, '.x/ durch c'.xy/ ersetzt für geeignetes y 2 GA und c 2 C. Sei F eine endliche Stellenmenge, die 1 enthält und alle Stellen, an denen  verzweigt ist. Sei AF das Produkt der Körper Qp über p 2 F und AF das eingeschränkte Produkt über alle Stellen außerhalb F , so dass gilt A D AF  AF . Wir betrachten das globale Zeta-Integral Z 1 f .x/'.x/jxjsC 2 dx ;

.f; '; s/ D GA

wobei f 2 S.M2 .A//. Für die endliche Stellenmenge F brauchen wir außerdem das lokale Zeta-Integral Z 1 f .x/'.x/jxjsC 2 dx ;

F .f; '; s/ D Q

GF

wobei wir GF D p2F Gp in GA einbetten, indem wir x auf .x; 1/ abbilden, d. h., die Koordinaten außerhalb F werden alle auf Eins gesetzt.

8 Automorphe L-Funktionen

220

Für einen Ring R sei Q.R/ die Menge aller Matrizen in M2 .R/ mit Determinante Null. Sei S0 D S0 .M2 .A// die Menge aller f 2 S.M2 .A// mit f .Q.A// D 0QD fO.Q.A//. Beispiele solcher Funktionen sind leicht konstruiert. Ist etwa f D p fp , so braucht man nur zwei Stellen p; q so dass supp fp  Gp und supp fOq  Gq gilt, dann liegt f in S0 . Beachte, dass die Menge S0 stabil ist unter der Fourier-Transformation. Q Wir nennen eine Funktion f 2 S.M2 .A// eine F-einfache Funktion, falls f D p fp mit p … F ) fp D 1M2 .Zp / :

Satz 8.3.1 Sei  eine kuspidale Darstellung, dann setzt sich die L-Funktion LF .; s/ zu einer meromorphen Funktion auf C fort. (a) Ist f 2 S.M2 .A//, so konvergiert das globale Zeta-Integral lokalgleichmäßig für Re.s/ > 32 und definiert dort eine holomorphe Funktion. Ist f 2 S0 , so setzt sich das Zeta-Integral zu einer ganzen Funktion fort. Es gilt dann die Funktionalgleichung

.f; '; s/ D .fO; ' _ ; 1  s/ ; wobei ' _ .x/ D '.x 1 /. (b) Ist f eine F-einfache Funktion, so gilt für Re.s/ >

3 2

.f; '; s/ D LF .; s/ F .f; '; s/ : (c) Enthält F mindestens zwei Primzahlen, so existiert ein F-einfaches f 2 S0 . Für jedes solche f ist das lokale Zeta-Integral F .f; '; s/ meromorph und es gilt die Funktionalgleichung LF .; s/ D

F .fO; ' _ ; 1  s/ F L .; 1  s/ :

F .f; '; s/

Der Beweis dieses Satzes wird im Wesentlichen den Rest dieses Abschnittes ausmachen. Wir zeigen zunächst die lokal-gleichmäßige Konvergenz des Integrals für Re.s/ > 32 . Die Funktion ' ist beschränkt, also können wir j'.x/f .x/j durch eine .1 C jjx1 jjN /1 abschätzen, wobei q 2 Q ist und N 2 N Konstante mal 1q M .b 2 Z/ beliebig groß gewählt werden kann. Schließlich ist jjxjj die euklidische Norm auf R4  GR , also p ˇˇ ˇˇ ˇˇ a b ˇˇ D a2 C b 2 C c 2 C d 2 : c d

8.3 Globale L-Funktionen

221

Wir haben daher die Konvergenz der zwei Integrale Z jxj

Re.s/C 12

Z dx

Gfin \q M2 .b Z/

und GR

1

jxjRe.s/C 2 1 C jjxjjN

dx

zu zeigen. Nach Beispiel 3.1.9 können wir das zweite Integral berechnen. Es ist gleich Z Z Z Z 3 jxw  yzjRe.s/ 2 dx dy dz dw : 1 C .x 2 C y 2 C z 2 C w 2 /N=2 R R R R

1

1

Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist jxw C yzj  .x 2 C y 2 / 2 .w 2 C z 2 / 2  x 2 C y 2 C z 2 C w 2 , unser Integral hat also die Majorante Z Z Z Z R R R R

.x 2 C y 2 C z 2 C w 2 /2 Re.s/3 dx dy dz dw : 1 C .x 2 C y 2 C z 2 C w 2 /N=2

Nach Polarkoordinaten-Transformation (siehe [27]), ist dies gleich einer Konstanten R 1 2 Re.s/ mal dem Integral 0 r1Cr N dr; welches lokal-gleichmäßig für  12 < Re.s/ < N21 konvergiert. Da wir N beliebig groß wählen können, folgt die verlangte Konvergenz, wenn wir jetzt noch das erste der beiden obigen Integrale behandeln. Zunächst substituieren wir y D qx und erhalten ein Skalar mal dem Integral Z 1 jxjsC 2 dx : Gfin \M2 .b Z/

Die Menge Gfin \M2 .b Z/ ist die disjunkte Vereinigung der Mengen Dn , wobei n 2 N läuft und Dn D fx 2 M2 .b Z/ W jxj D n1 g : P j D Nach Lemma 2.5.1 ist jDn =Gb d jn d . Daher können wir zunächst formal Z rechnen Z 1 X 1 X X X 1 1 1 1 jxjsC 2 dx D d ns 2 D d sC 2 as 2 nD1 d jn

Gfin \M2 .b Z/

D

1 X 1 X aD1 d D1

nD1 ad Dn

    1 1 1 1 as 2 d sC 2 D s C

s : 2 2

Daher konvergiert das Integral lokal-gleichmäßig für Re.s/ > 32 und die im Satz behauptete Konvergenz ist bewiesen. Sei nun p  1 eine Stelle. Ist z 2 Zp und ist  eine irreduzible unitäre Darstellung von Gp , so vertauscht .z/ mit allen .g/, g 2 Gp . Nach dem Lemma von

8 Automorphe L-Funktionen

222

Schur folgt .z/ 2 CId. Also existiert ein Charakter ! W Zp ! T, genannte der zentrale Charakter von , so dass .z/ D ! .z/Id für jedes z 2 Zp . O / W GA ! C definiert durch Für f 2 S.M2 .A// seien E.f /; E.f X E.f /.x/ D jxj f . x/  2GQ

und O /.x/ D jxj E.f

X

f .x /

 2GQ

Proposition 8.3.2 Für jedes f 2 S.M2 .A// konvergiert die Summe E.f /.x/ lokal gleichmäßig in x gegen eine stetige Funktion. Für jedes ˛ 2 R mit ˛ > 1 existiert ein C.˛/ > 0 so dass für jedes x gilt jE.f /.x/j  C.˛/jxj˛ : Beweis: Mit M2 .Q/ ist auch M2 .Q/x ein Gitter in M2 .A/ für x 2 GA . Wir können annehmen, dass f von der Form f D ffin f1 ist mit ffin 2 S.M2 .Afin // und f1 2 S.M2 .R//. Z/ für ein Die Funktion ffin hat kompakten Träger, dieser ist enthalten in m1 M2 .b m 2 N. In dem wir Faktoren von ffin nach f1 verschieben, können wir annehmen dass jffin j  1 und damit X jf . x/j jE.f /.x/j  jxj  2GQ

 jxj

X

1  2GQ \ m

jf1 . x1 /j: b

1 M2 .Z/xfin

Indem wir m vergrößern, können wir xfin D 1 annehmen. Es gilt aber 1 1 1 Z/  M2 .Q/ \ M2 .b Z/ D M2 .b M2 .Z/ : m m m P Sei also ƒ D m1 M2 .Z/. Dies ist ein Gitter in M2 .R/. Die Summe  2ƒ jf1 . x1 /j konvergiert lokal gleichmäßig in x1 da f1 schnell fallend ist. Wir zeigen noch die Wachstumsabschätzung. Hierzu benutzen wir X jf1 . x1 /j : jE.f /.x/j  jxj GQ \

 2GQ \ƒ

Sei jjgjj D Sp.g t g/ die euklidische Norm auf M2 .R/. Zu jedem A > 0 existiert ein CA0 > 0 so dass jf1 .x1 /j  CA0 jjx1 jjA . Es gibt eine eindeutige Zerlegung

8.3 Globale L-Funktionen

223 1 2

x1 D yz, wobei z 2 ZR und jyj D 1. Es gilt jj x1 jj D jj yzjj D jj yjj jzj D 1 jj yjj jx1 j 2 . Ferner ist jxj D jxfin x1 j D jxfin jjx1 j, und da xfin in einem festen Kompaktum verbleibt, kann jxfin j nach oben durch eine Konstante abgeschätzt werden. Es existiert also ein C. A2  1/ > 0 so dass   X A A jE.f /.x/j  C  1 jxj1 2 jj yjjA 2  2GQ \ƒ

Die Proposition ergibt sich nun aus dem folgenden Lemma. Lemma 8.3.3 Für A > 4 ist die Abbildung SL˙ 2 .R/ ! R, gegeben durch X y 7! jj yjjA  2GQ \ƒ

beschränkt. Beweis: Da j det. y/j D j det. /j  1=m2 , existiert ein c > 0 mit jj yjj  c für alle und alle y. Daher existiert ein C > 0 mit 1 C 1 A  C , was gleichbedeutend jjyjj ist mit C : jj yjjA  1 C jj yjjA   Wir betrachten zunächst die Menge ƒ0 aller ac db 2 ƒ so dass alle vier Einträge a; b; c; d ungleich Null sind. Mit den Standard-Koordinaten auf M2 .R/ Š R4 sind dies gerade die Punkte des Gitters, deren sämtliche Koordinaten ungleich Null sind. Diese bilden 24 D 16 Quadranten und es reicht, die Beschränktheit für einen dieser Quadranten zu zeigen. Wir wählen den Quadranten Q, in dem alle Einträge a; b; c; d positiv ( 0) sind. Sei dann F die abgeschlossene Fundamentalmasche des Gitters ƒ, die ganz in Q liegt und die Null enthält. Für jedes 2 ƒ \ Q ist dann der Extremalpunkt der konvexen Menge C F ist, der die größte Norm hat. Für jedes y 2 GL2 .R/ ist ebenso y der Extremalpunkt von y C F y, der die größte Norm hat. Da y die Determinante 1 hat, folgt Z Z X 1 1 1  dx D dx < 1 : A A 1 C jj yjj 1 C jjxyjj 1 C jjxjjA  2ƒ\Q M2 .R/

a

M2 .R/

 b

Betrachte nun die D c d , für die ein Eintrag gleich Null ist. Diese kann man von links mit einer Matrix aus SL2 .Z/ multiplizieren, so dass alle Einträge ungleich Null sind und dann kann man das obige Argument anwenden.  Proposition 8.3.4 Sei f 2 S0 .M2 .A//. Für jedes N 2 N mit N  2 existiert ein C.N / > 0, so dass für jedes x gilt   jE.f /.x/j  C.N / min jxjN ; jxjN :

8 Automorphe L-Funktionen

224

Es gilt die Funktionalgleichung O fO/.x 1 / : E.f /.x/ D E. Beweis: Mit Proposition 8.3.2 folgt die Wachstumsabschätzung aus der Funktionalgleichung. Zum Beweis der Funktionalgleichung beachte, dass für f 2 S0 gilt: X E.f /.x/ D jxj f . x/ ;  2M2 .Q/

wobei die Summe jetzt über M2 .Q/ statt über GQ erstreckt wird. Die Funktionalgleichung ist damit eine sofortige Konsequenz aus dem folgenden Lemma. Lemma 8.3.5 Für x 2 GA und f 2 S gilt X jxj2 f . x/ D  2M2 .Q/

X

fO.x 1 / :

 2M2 .Q/

Beweis: Die Poissonsche Summenformel, die man ebenso beweist wie im eindimensionalen Fall, sagt X X fO. / : f . / D  2M2 .Q/

 2M2 .Q/

Für x 2 GA sei fx .y/ D f .yx/. Dann gilt Z c fx .z/e.zy/ dz D fx .y/ D

Z

M2 .A/

M2 .A/

D jxj2

Z

f .zx/e.zy/ dz

f .z/e.zx 1 y/ dz D jxj2 fO.x 1 y/ :

M2 .A/



Das Lemma und die Proposition folgen.

Q Proposition 8.3.6 Sei f 2 S.M2 .A// von der Form p fp , wobei für p … F gilt fp D 1M2 .Zp / . Für Re.s/ > 32 gilt dann Z Z 1 s 12 F E.f /.x/'.x/jxj dx D .f; '; s/ D L .; s/ fF .x/'.x/jxjsC 2 dx ; GQ nGA

GF

Q

wobei fF D p2F fp . Ist f 2 S0 , so konvergiert das Integral auf der linken Seite gleichmäßig in s 2 C, definiert also eine ganze Funktion in s.

8.3 Globale L-Funktionen

225

Beweis: Mit dem üblichen Auffaltungstrick rechnen wir für Re.s/ > 1 Z Z 1 s 12 E.f /.x/'.x/jxj dx D f .x/jxjsC 2 '.x/dx D .f; '; s/ GQ nGA

GA

Z

1

f .x/jxjsC 2 R.x/'.1/dx

yD GA

0

B D @

1

Z

1 C f .x/jxjsC 2 .x/vdx A .1/

GA

0

B D  @˝p

Z

1 1 C fp .x/jxjsC 2 p .x/vp dx A .1/ :

Gp

so dass wir wegen der Linearität von  und Proposition 8.2.9 erhalten Z 1 E.f /.x/ '.x/jxjs 2 dx 0

1 Z O O 1 B C D LF .; s/  @ vp ˝ fp .x/jxjsC 2 p .x/vp dx A .1/

GQ nGA

p…F

Z D LF .; s/

p2F G

p 1

fF .x/'.x/jxjsC 2 dx :

GF  Wir beweisen nun den Satz. Sei f 2 S0 . Dann gilt die Funktionalgleichung O fO/.x 1 /. Wir erhalten also E.f /.x/ D E. Z Z 1 O fO/.x 1 /'.x/jxjs 12 dx

.f; '; s/ D E. E.f /.x/'.x/jxjs 2 dx D GQ nGA

Z

GQ nGA

O fO/.x/'.x 1 /jxjsC 12 dx D E.

D GA =GQ

Z

3 fO.x/jxj 2 s '.x 1 /dx :

GA

Die Abbildung ' 7! ' _ mit ' _ .x/ D '.x 1 / ist eine unitäre Abbildung von L2 .GQ ZnGA / nach L2 .GA =GQ Z/ die GA -äquivariant ist, wenn GA auf L2 .GA =GQ Z/ durch die Linkstranslation L.y/'.x/ D '.y 1 x/ operiert. Dies sieht man ein durch die folgende Rechnung: .R.y/'/_ .x/ D R.y/'.x 1 / D '.x 1 y/ D '..y 1 x/1 / D ' _ .y 1 x/ D L.y/.' _ /.x/ :

8 Automorphe L-Funktionen

226

Das bedeutet, dass ' _ die Rolle von ' übernimmt, wenn man alles für Links- statt Rechtstranslation formuliert. Man erhält also folgende Funktionalgleichung:

.f; '; s/ D .fO; ' _ ; 1  s/ : Damit ist Teil (a) des Satzes bewiesen. Teil (b) haben wir dank Proposition 8.3.6 auch schon. Nun zu Teil (c). Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen in F , so wählen wir fq mit kompaktem Träger in Gq und fp so, dass die Fourier-Transformierte fOp kompakten Träger in Gp hat. Wählen wir weiter f1 2 Cc1 .GR /, sehen wir, dass es in der Tat eine F -einfache Funktion in S0 gibt. Die Funktionalgleichung folgt aus Teil (a) und (b), falls wir noch zeigen, dass LF .; s/ eine meromorphe Fortsetzung besitzt. Zunächst macht man sich klar, dass diese Aussage nicht von der 0 Stellenmenge F abhängt, da sich die Funktionen LF und LF für zwei verschiedene Stellenmengen F und F 0 nur um endlich viele Euler-Faktoren der Gestalt 1 .1 

ap s /.1

 bp s /

unterscheiden. Diese Euler-Faktoren sind selbst auf ganz C meromorph, also ist LF 0 genau dann meromorph nach C fortsetzbar, wenn dies für LF gilt. Wir wählen also F so, dass es mindestens zwei Primzahlen enthält und dass es eine Primzahl p enthält, an der  unverzweigt ist. Ist l eine Primzahl außerhalb von F , so setze fl D 1M2 .Zl / . Für jede Primzahl l ¤ p in F wählen wir fl in Cc1 .GQl /. Ferner sei fp die Fourier-Transformierte von p11Cp M2 .Zp / . Dann ist f D l fl eine F -einfache Funktion in S0 . Man rechnet nach, dass fp .x/ D ep .Sp.x//1p1 M2 .Zp / .x/ : Lemma 8.3.7 Die Funktion fp liegt in der Algebra HL p p . K

Beweis: Sei e D 1Kp . Wir müssen zeigen, dass e  fp D fp  e gilt. Wir stellen fest, dass für x 2 Gp und y 2 Kp gilt fp .xy/ D fp .yx/ : Dies folgt aus Sp.xy/ D Sp.yx/, da die Menge p 1 M2 .Zp / invariant unter Kp von beiden Seiten ist. Hieraus folgt das Lemma durch Integration über y 2 Kp .  Q Mit f D p fp gilt dann Z 1 f .x/'.x/jxjsC 2 dx

F .f; '; s/ D 0

1

GF

B D @

OZ l¤pG

l

sC 12

jxjl

Z fl .x/R.x/vl dx ˝ Gp

sC 12

jxjp

C fp .x/R.x/vp dxA.1/ :

8.3 Globale L-Funktionen

227

R 1 K Da die Funktion j:jsC 2 fp in HL p p liegt, ist Gp jxjp fp .x/R.x/vp

1 p j:jsC 2 fp vp nach Lemma 8.2.8. Weiter ist, nach demselben Lemma, Z



1 1 S j:jsC 2 fp .a/a da : p j:jsC 2 fp D sC 12

D

Ap

Wir rechnen

Z

Z

1 1 S j:jsC 2 fp .a/a da D S.fp /.a/a jajsC 2 da

Ap

Mit a D

 a1

Ap



2 Ap und n 2 Np hat man Sp.an/ D Sp.a/, so dass wir erhalten Z ı=2 Sfp .a/ D a fp .an/ dn a2

 D D

N

ja1 j ja2 j

 12

Z e.Sp.a//

 a1

a1 x a2



dx

Qp

ep .Sp.a// 1

jaj 2

1p1 M2 .Zp / .a/ :

Damit folgt

1 p j:jsC 2 fp Z 1 D Sfp .a/a jajsC 2 da D

Z e.Sp.a//a jajs da A\p 1 M2 .Zp /

A

D

1p1 M2 .Zp /

1 X i;j D1

e.p 1 a/ da C

A\GL2 .Zp /

Z

2 Cs

p 1  p 1 s

e

pi pj

A\GL2 .Zp /

Z

D p 1 C2 C2s

C

Z

p i.1 Cs/ p j.2 Cs/

e

p 1 Cs 1  p 2 s



a da Z

e

p 1



a da 1

A\GL2 .Zp /



1   ; p 1 a da C  s 1 1p 1  p 2 s

1

A\GL2 .Zp /

p

 1  hierbei ist 1 D  p . Dies ist eine rationale Funktion in 1 und 2 D  p s . Schreiben wir R.p s / für diese Funktion. Wir haben gezeigt: 0 1 Z O 1 sC B C

F .f; '; s/ D R.p s / @ jxjl 2 fl .x/R.x/vl dx ˝ vp dx A .1/ : p¤l2F G

l

8 Automorphe L-Funktionen

228

Da jedes fl mit p ¤ l 2 F kompakten Träger in Gl hat, ist das lokale ZetaIntegral also eine meromorphe Funktion auf C. Nach Teil (a) des Satzes ist damit auch LF .; s/ meromorph auf ganz C. Der Satz ist damit vollständig bewiesen.  Man kann zeigen, dass es weitere Euler-Faktoren L.p ; s/ gibt, so dass für jede endliche Stelle die Funktion L.p ; s/1 ein Exponentialpolynom ist und L.1 ; s/ ist ein Exponential mal einer -Funktion so dass die Funktion Y L.p ; s/ L.; s/ D p1

eine Funktionalgleichung der Form L.; s/ D a bs L. 0 ; 1  s/ erfüllt, wobei a ; b 2 C sind mit b > 0 und  0 die zu  duale Darstellung ist. Wir erklären jetzt, was die duale Darstellung ist, und warum dies Ergebnis nicht im Widerspruch zu der von uns gefundenen Funktionalgleichung steht. Ist V ein Banach-Raum, so ist der stetige Dualraum V 0 definiert als die Menge aller stetigen Linearformen ˛ W V ! C. Mit der Norm jj˛jj D supjjvjjD1 j˛.v/j wird V 0 wieder ein Banach-Raum. Sei .; V / eine Darstellung der lokalkompakten Gruppe G auf dem Banach-Raum V . Die duale Darstellung . 0 ; V 0 / ist die Darstellung auf V 0 gegeben durch  0 .x/˛.v/ D ˛..x 1 /v/ : Ist V ein Hilbert-Raum, so liefert die Abbildung v 7! ˛v mit ˛v .w/ D hw; vi einen komplex-konjugiert linearen Isomorphismus V ! V 0 , so dass in diesem Fall V 0 wieder ein Hilbert-Raum ist. Ist  unitär, dann ist auch  0 unitär. Die Darstellung  heißt selbstdual, falls  Š  0 gilt. Für eine irreduzible Darstellung  D ˝p p von GA gilt  0 D ˝p p0 : Proposition 8.3.8 Sei p < 1 eine Primzahl und sei .; V / eine irreduzible unverzweigte Darstellung von Gp mit dualer Darstellung  0 . (a) Definiere eine Darstellung 1 auf V durch 1 .x/ D .x t /, wobei x t die K transponierte Matrix ist und x t D .x t /1 D .x 1 /t . Dann ist 1 als Hp p Modul isomorph zu  0 . Insbesondere folgt L.1 ; s/ D L. 0 ; s/ für jedes s 2 C. (b) Sei  unitär und ! der zentrale Charakter. Definiere eine Darstellung 2 auf V K durch 2 .x/ D !.det.x//1 .x/. Dann ist 2 als Hp p -Modul isomorph zu  0 . Insbesondere folgt: Ist  unitär mit trivialem zentralem Charakter, dann ist L.; s/ D L. 0 ; s/ für jedes s 2 C. (Dies erklärt die Kompatibilität der Funktionalgleichungen.) Beweis: Für eine Funktion f W Gp ! C sei f _ .x/ D f .x 1 / und f t .x/ D K f .x t /. Sei f 2 Hp p , dann ist f eine Linearkombination von Funktionen der Form

8.4 Das Beispiel der klassischen Spitzenformen

229

1Kp DKp , wobei D eine Diagonalmatrix ist. Daher folgt f D f t . Damit ist Z Z 1 .f / D f .x/.x t / dx D f .x t / .x/ dx D .f _ / : „ ƒ‚ … Gp Df _ .x/

Gp

Sei ˛ aus dem Dualraum und v 2 V Kp dann gilt Z Z f .x/˛..x/v/ dx D f .x/ 0 .x 1 /˛.v/ dx  .f /˛.v/ D ˛..f /v/ D Z D

Gp

Gp

f _ .x/ 0 .x/˛.v/ dx D  0 .f _ /˛.v/ :

Gp

Es folgt  0 .f / D  .f _ / D 1 .f / und damit gilt (a) . Teil (b) folgt aus der Identität   1 x t D det.x/1 w 1 xw; : wD 1



8.4 Das Beispiel der klassischen Spitzenformen In diesem Abschnitt zeigen wir, dass die nunmehr erlernte adelische Definition der L-Funktionen kompatibel ist zu der klassischen Variante, d. h., wir zeigen, dass für eine klassische Spitzenform beide Definitionen dieselbe L-Funktion beschreiben. Es sei D SL2 .Z/ die Modulgruppe und f 2 Sk . / eine Spitzenform vom Gewicht k 2 2N0 . Zur Erinnerung: das heißt, dass f W H !  C holomorph ist, die Gleichung f . z/ D .cz C d /k f .z/ für jedes D c d 2 erfüllt und eine Fourier-Entwicklung der Form f .z/ D

1 X

an e2 i nz

nD1

hat. Die L-Funktion zu f ist dann definiert durch die Reihe L.f; s/ D

1 X

an ns ;

nD1

sie konvergiert für Re.s/ > k2 C 1 und setzt sich zu einer ganzen Funktion fort. Es gilt die Funktionalgleichung ƒ.f; s/ D .1/k=2 ƒ.f; k  s/ ;

8 Automorphe L-Funktionen

230

s wobei ƒ.f; s/ def D .2/ .s/L.f; s/. Wir nehmen nun an, dass f eine simultane

Eigenfunktion aller Hecke-Operatoren Tn ist und dass f normalisiert ist so, dass a1 D 1. Dann ist an der Eigenwert von f unter Tn . Unter diesen Umständen hat L.f; s/ ein Euler-Produkt: L.f; s/ D

Y p

1 ; 1  ap p s C p k12s

wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Die Gruppe G1 operiert auf der oberen Halbebene durch 8 azCb   < czCd falls det g > 0 ; a b def z D gz D c d : azCb N falls det g < 0 : c zCd N Wir definieren die Funktion f .x/ D det.x/k=2 .ci C d /k f .xi /;

xD

 a c

b d

 2 G1 :

Dann ist f 2 L2 .ZR nG1 /. Wir definieren 'f 2 L2 .ZR GQ nGA / durch 'f .1; x/ D f .x/;

x 2 G1 :

  Satz 8.4.1 Der Vektor 'f liegt in L2cusp . Das Zentrum ZA D A 1 1 von GA operiert trivial auf 'f in dem Sinne, dass R.z/'f D 'f für jedes z 2 ZA gilt. Das Element 'f erzeugt eine irreduzible Darstellung f von GA . Für F D f1g gilt

: LF .f ; s/ D L1 .f ; s/ D L f; s C k1 2

Der Satz besagt, dass der Abschluss des Raums Span.R.GA /'f / eine irreduzible GA -Darstellung f definiert, wobei R die Darstellung von GA durch Rechtstranslation auf L2 .ZR GQ nGA / ist. Beweis: Die Tatsache, dass 'f kuspidal ist, folgt direkt aus der Tatsache, dass f Z ist jedes z 2 ZA ein eine Spitzenform ist. Sei z 2 ZA . Wegen A D Q Rb Produkt aus einem Element von GQ , einem aus ZR und einem von Gb . Daher ist Z 2 'f trivial unter der Gruppe ZA . Da Lcusp eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen ist, zerfällt auch 'f in eine Summe von Vektoren, die in irreduziblen

8.4 Das Beispiel der klassischen Spitzenformen

231

Darstellungen liegen. Diese müssen dann alle ZA -trivial sein. Nach Lemma 8.2.6 ist 'f trivial unter der Algebra Zp für jedes p < 1. Nach der Übungsaufgabe 7.13 und Lemma 8.2.5 ist der eindimensionale Raum C'f stabil unter der Hecke-Algebra K Hp p für jede Primzahl p. Nach Lemma 7.5.27 erzeugt 'f demnach eine irreduzible Darstellung der Gruppe Gfin . Derselbe Schluss funktioniert auch an der unendlichen Stelle. Zunächst stellen wir fest, dass 'f 2 L2 .ZR GQ nGA /./, wobei  D "k der Charakter der Gruppe SO.2/ ist, der durch das Gewicht k gegeben wird. Wir müssen zeigen, dass R.h/'f D c.h/'f mit c.h/ 2 C ist, falls h 2 C ist. Da L2cusp P in eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen zerfällt, ist 'f D i 2I 'i , wobei 'i jeweils in einer irreduziblen zulässigen Darstellung liegt. Für h 2 C P gilt dann R.h/'f D i 2I ci .h/'i mit Skalaren ci .h/ 2 C. Die 'i sind alle glatt nach Lemma 3.4.3. Sei D der Differentialoperator aus Aufgabe 3.6, so folgt D'i D Pi .D'f / D 0, wobei Pi die Projektion auf den i -ten Summanden ist. Damit folgt DR.h/'f D 0. Das bedeutet, R.h/'f kommt von einer holomorphen Funktion im Sinne von Aufgabe 3.6. Es gilt also R.h/'f D 'f 0 für eine Spitzenform f 0 . Diese hat unter den endlichen Hecke-Operatoren R.gp / dieselben Eigenwerte wie f , da diese Operatoren mit R.h/ vertauschen. Damit hat f 0 , nach Satz 2.5.19 bis auf ein multiplikatives Skalar dieselben Fourier-Koeffizienten wie f , also folgt f 0 D cf für ein c 2 C. Das bedeutet, dass C'f ein irreduzibler Modul unter der Algebra C ist, damit folgt, dass 'f eine irreduzible Darstellung U der Gruppe HQ D Gfin  SL2 .R/ erzeugt. Die Gruppe ZR operiert trivial und die Gruppe H D HQ =ZR hat den Index 2 in G D GA =ZR , genauer ist G D H [ !H mit ! D 1 1 . Es gibt nun zwei Fälle: entweder ist R.!/U D U , dann ist U schon GA stabil und damit irreduzibel. Oder es ist R.!/U ? U , dann ist aber U ˚R.!/U irreduzibel, also erzeugt 'f in der Tat eine irreduzible Darstellung der Gruppe GA . Nun zu den L-Funktionen. Sei an der n-te Fourier-Koeffizient von f . Dann gilt L.f; s/ D

1 X

Y

an ns D

p s in R ist [ f 1 .s; r/ D Us 0 X Us 00 : s